Courbe du blancmanger

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Blancmange-function.svg

En mathématiques, la courbe du blancmanger est une courbe fractale. Elle est aussi connue comme la courbe de Takagi, d'après Teiji Takagi qui l'a décrite en 1903, ou comme la courbe Takagi-Landsberg (en), une généralisation de la courbe. Le nom blancmanger vient de sa ressemblance au pudding du même nom. C'est un cas particulier de courbe de De Rham (en).

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction blancmanger est définie sur [0; 1] par :

{\rm blanc}(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n},

s(x) est définie par s(x)=\min_{n\in{\bold Z}}|x-n|, c'est-à-dire que s(x) est la distance entre x et l'entier le plus proche. La somme infinie {\rm blanc}(x) converge pour tout x, mais la courbe résultante est une fractale. La fonction blancmanger est continue (en fait, uniformément continue) mais dérivable en aucun point.

La courbe Takagi–Landsberg en est une généralisation donnée par la relation :

T_w(x) = \sum_{n=0}^\infty w^n s(2^{n}x)

pour un paramètre w ; donc la courbe du blancmanger est le cas w=1/2. La valeur H=-\log_2 w est connue comme le paramètre de Hurst. La fonction peut-être étendue à tous les réels : appliquer la définition ci-dessus montre que la fonction se répète sur chaque intervalle unitaire.

Construction graphique[modifier | modifier le code]

La courbe du blancmanger peut être construite à partir des fonctions en dents de scie si la somme infinie est approximée par les premiers termes. Sur les illustrations ci-dessous, les fonctions en dents de scie (en rouge) sont progressivement ajoutées à la courbe à chaque étape.

Blancmange-approx1.svg Blancmange-approx2.svg Blancmange-approx3.svg Blancmange-approx4.svg
n = 0 n ≤ 1 n ≤ 2 n ≤ 3

Intégration de la courbe[modifier | modifier le code]

Étant donné que l'intégrale de la fonction {\rm blanc} sur l'intervalle [0; 1] vaut 1/2, la relation {\rm blanc}(x)= {\rm blanc}(2x)/2+s(x) permet de calculer l'intégrale. Le calcul est récursif avec un temps de calcul de l'ordre du logarithme de la précision requise.


\begin{align}
I(x) &= \int_0^x{\rm blanc}(x)\,\mathrm{d}x,\\
I(x) &=\begin{cases}
1/2+I(x-1) & \text{si }x \geq 1\\
1/2-I(1-x) & \text{si }1/2 < x < 1 \\
I(2x)/4+x^2/2 & \text{si } 0 \leq x \leq 1/2  \\
-I(-x) & \text{si } x < 0
\end{cases} \\

\int_a^b{\rm blanc}(x)\,\mathrm{d}x &= I(b) - I(a).
\end{align}

Dimension fractale[modifier | modifier le code]

La courbe de Takagi-Landsberg (\textstyle{f(x) = \sum_{n=0}^\infty {w^n s(2^{n}x)}}) a pour dimension de Hausdorff[1] :

D_H = 2+\dfrac{\log(w)}{\log(2)}.

La dimension de Hausdorff de la courbe du blancmanger, pour laquelle w = 1/2, vaut donc 1, malgré son aspect fractal.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Benoit Mandelbrot, Gaussian self-affinity and Fractals (Hunt cité par Mandelbrot) (ISBN 0-387-98993-5)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Blancmange curve » (voir la liste des auteurs)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Takagi Explorer Les courbes de Weierstrass et La courbe de Bolzano