Courbe de Peano

Une courbe de Peano est une courbe plane paramétrée par une fonction continue sur l'intervalle unité [0, 1], surjective dans le carré [0, 1]×[0, 1], c'est-à-dire que la courbe passe par chaque point du carré : elle « remplit l'espace ». Toutes ces courbes sont des fractales : bien que formées d'une simple ligne, elles sont de dimension 2. Ce type de courbes est nommé en l'honneur de Giuseppe Peano, qui fut le premier à en décrire une.

Historique

Dans un article de 1890^[1] Giuseppe Peano décrit une courbe auto-intersectante qui passe par tous les points de la surface du carré unité. Son objectif est de construire une application de l'intervalle unité défini sur $\scriptstyle {\mathbb {R} }$ vers le carré unité défini sur $\scriptstyle {\mathbb {R} ^{2}}$ . Il illustre ainsi un résultat de Georg Cantor qui, en 1877, établit que l'ensemble des points de l'intervalle unité et celui d'une surface bidimensionnelle finie avaient le même cardinal. Peano apporta la preuve qu'une telle fonction pouvait être continue. C'est-à-dire qu'une courbe pouvait remplir une surface.

La clé passe par l'élaboration d'une courbe nulle part différentiable. Toutes les courbes rencontrées jusqu'alors étaient différentiables par parties (elles avaient une dérivée continue sur chaque intervalle). En 1872, Karl Weierstrass avait bien décrit une fonction qui était continue en tout point mais différentiable en aucun point. Mais aucune de ces courbes ne pouvait remplir le carré unité. La courbe de Peano, à la fois nulle part différentiable et remplissant le plan, était donc fortement contre-intuitive.

Peano utilise l'existence d'un développement en base trois pour tout nombre réel. Dans l'ensemble des suites à valeurs dans {0,1,2}, il construit une correspondance entre la suite $T=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ et le couple de suites $(X,Y)=((b_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}},(c_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}})$ de la manière suivante :

$b_{n}=a_{2n-1}{\text{ ou }}2-a_{2n-1}$ selon que la somme des termes de rang pair de la suite $(a_{n})$ : $\sum _{1\leq k\leq n-1}a_{2k}$ est paire ou impaire (par convention, la somme vide $\sum _{1\leq k\leq 0}a_{2k}$ est nulle donc paire, donc $b_{1}=a_{1}$ )
$c_{n}=a_{2n}{\text{ ou }}2-a_{2n}$ selon que la somme des termes de rang impair de la suite $(a_{n})$ : $\sum _{k=1}^{n}a_{2k-1}$ est paire ou impaire.

À chaque suite, il associe le réel dont la suite est un développement en base 3

t=0,a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\cdots =\sum _{k=1}^{+\infty }a_{k}3^{-k},\qquad x=0,b_{1}b_{2}\cdots b_{n}\cdots =\sum _{k=1}^{+\infty }b_{k}3^{-k},\qquad y=0,c_{1}c_{2}\cdots c_{n}\cdots =\sum _{k=1}^{+\infty }c_{k}3^{-k}

et démontre que la correspondance qui, au réel t, associe le couple de réels (x,y) est bien une surjection continue de [0,1] dans [0,1]×[0,1].

L'article de Peano ne contenait pas d'illustration. Une observation des suites T, nulles à partir du rang 3, conduirait à la construction successive des points de coordonnées (0,0), (0,1/3), (0,2/3), (1/3,2/3), (1/3,1/3), (1/3,0), (2/3,0), (2/3,1/3), (2/3,2/3) qui, joints par des segments de droites donnent une courbe analogue à l'étape 1 de l'illustration ci-contre. Pour les suites nulles à partir du rang cinq, on trace une courbe analogue à l'itération 2 ci-contre, commençant au point de coordonnées (0,0) et aboutissant au point de coordonnées (8/9,8/9).

Un an plus tard, David Hilbert publie une construction nouvelle et plus simple, connue aujourd'hui sous le nom de courbe de Hilbert. Son article de 1891^[2] est le premier à proposer une illustration de sa construction.

La plupart des courbes de Peano sont construites selon un procédé itératif et sont la limite d'une suite de courbes linéaires définies par parties.

À partir de l'exemple de Peano et de Hilbert, d'autres courbes continues sont conçues, ouvertes ou fermées :

en 1900, le mathématicien Eliakim Hastings Moore propose, en accolant quatre courbes de Hilbert, une variante fermée appelée aujourd'hui courbe de Moore (en) ;
en 1905, Henri Lebesgue propose une nouvelle courbe qui, elle, est différentiable en presque tout point ;
en 1912, le mathématicien polonais Wacław Sierpiński à son tour décrit une autre courbe fermée (en) qui porte désormais son nom.

Plus tard Walter Wunderlich (de) développe, quant à lui, une famille entière de variantes de la courbe originelle de Peano.

Propriétés

Une courbe de Peano n'est pas injective. La courbe est nécessairement auto-intersectante.
La courbe de Peano est 1/2-höldérienne. Néanmoins, il est impossible d'obtenir une application a-höldérienne surjective de [0,1] sur [0,1]² pour a>1/2. Une preuve est mentionnée dans l'article Condition de Hölder.

Références

↑ G. Peano, « Sur une courbe, qui remplit une aire plane », Math. Ann., vol. 36,‎ 1890, p. 157-160 (lire en ligne)
↑ (de) D. Hilbert, « Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück », Math. Ann., vol. 38,‎ 1891, p. 459-460 (lire en ligne)

(en) Hans Sagan, Space-Filling Curves, Springer-Verlag, 1994 (ISBN 0387942653).
(en) Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Freeman, 1982 (ISBN 978-0-7167-1186-5), « Harnessing the Peano Monster Curves »

Voir aussi

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Articles connexes

Liens externes

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(en) Applets Java sur cut-the-knot :

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[1] G. Peano, « Sur une courbe, qui remplit une aire plane », Math. Ann., vol. 36,‎ 1890, p. 157-160 (lire en ligne)

[2] (de) D. Hilbert, « Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück », Math. Ann., vol. 38,‎ 1891, p. 459-460 (lire en ligne)

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