Courbe de Bézier

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Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques décrites pour la première fois en 1962 par Pierre Bézier (ingénieur à la régie Renault dans les années 1950) qui les utilisait pour concevoir des pièces d'automobiles à l'aide d'ordinateurs. Elles ont de nombreuses applications dans la synthèse d'images et le rendu de polices de caractères. Elles ont donné naissance à de nombreux autres objets mathématiques.

Il existait avant Bézier des courbes d'ajustement nommées splines, mais dont le défaut était de changer d'aspect lors d'une rotation de repère, ce qui les rendait inutilisables en CAO. Bézier partit d'une approche géométrique fondée sur la linéarité de l'espace euclidien et la théorie, déjà existante, du barycentre : si la définition est purement géométrique, aucun repère n'intervient puisque la construction en est indépendante, ce qui n'était pas le cas pour les splines (les splines conformes aux principes de Bézier seront par la suite nommées B-splines).

Exemple de construction de courbe de Bézier.

Théorie générale[modifier | modifier le code]

Pour n+1 points de contrôle (\mathbf{P}_0, \dots, \mathbf{P}_n), on définit une courbe de Bézier par l'ensemble des points \sum_{i = 0}^n B_i^n(t) . \mathbf{P}_i, avec t \in[0, 1] et où les B_i^n sont les polynômes de Bernstein.

La suite des points \mathbf{P}_0, \dots, \mathbf{P}_n forme le « polygone de contrôle de Bézier ».

Remarque
Puisque \sum_{i=0}^n B_i^n(t) = 1, la courbe est correctement définie.
Chaque point de la courbe peut être vu alors comme un barycentre (une moyenne pondérée) des n+1 points de contrôle, ceux-ci étant alors pondérés d'un poids égal à l’image par le polynôme de Bernstein associé à chaque point de contrôle de la même valeur du paramètre t caractérisant un point de la courbe, la somme de ces n+1 poids valant alors exactement 1.

Propriétés[1] :

  • La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des points de contrôle.
  • La courbe commence par le point \mathbf{P}_0 et se termine par le point \mathbf{P}_n, mais ne passe pas a priori par les autres points de contrôle qui déterminent cependant l'allure générale de la courbe.
  • \overrightarrow{P_0P_1} est le vecteur tangent à la courbe en \mathbf{P}_0 et \overrightarrow{P_{n-1}P_n} au point \mathbf{P}_n.
  • Une courbe de Bézier est infiniment dérivable (de classe C^{\infty}).
  • La courbe de Bézier est un segment si et seulement si les points de contrôle sont alignés.
  • Chaque restriction d'une courbe de Bézier est aussi une courbe de Bézier.
  • Un arc de cercle (ni même aucun arc de courbe conique, en dehors du segment de droite) ne peut pas être décrit par une courbe de Bézier, quel que soit son degré.
  • Le contrôle de la courbe est global : modifier un point de contrôle modifie toute la courbe, et non pas un voisinage du point de contrôle.
  • Pour effectuer une transformation affine de la courbe, il suffit d'effectuer la transformation sur tous les points de contrôle.

Technique[modifier | modifier le code]

Quatre points P0, P1, P2 et P3 définissent une courbe de Bézier cubique. La courbe se trace en partant du point P0, en se dirigeant vers P1 et en arrivant au point P3 selon la direction P2-P3. En général, la courbe ne passe ni par P1 ni par P2 : ces points sont simplement là pour donner une information de direction. La distance entre P0 et P1 détermine la « longueur » du déplacement dans la direction de P1 avant de tourner vers P3.

Bezier curve.svg

La forme paramétrique de la courbe s'écrit:

\mathbf{P}(t)= \mathbf{P}_0(1-t)^3 + 3 \mathbf{P}_1 t(1-t)^2 + 3 \mathbf{P}_2 t^2(1-t) + \mathbf{P}_3 t^3

pour 0 ≤ t ≤ 1.
Remarquons que les coefficients binomiaux apparaissent dans l'ordre (1, 3, 3, 1). La formule est inspirée d'une loi binomiale et montre que la courbe est toujours complètement contenue dans l'enveloppe convexe des quatre points donnés ; en effet, la formule du binôme de Newton — ici à l'ordre 3 — permet de montrer que la somme des coefficents respectifs associés aux points vaut 1 : (1-t)^3 + 3t(1-t)^2 + 3t^2(1-t) + t^3 = [t + (1-t)]^3 = 1^3 = 1.
Les courbes de Bézier sont intéressantes pour le traitement des images pour deux raisons principales :

  • Les points peuvent être rapidement calculés en utilisant une procédure récursive qui utilise la division par deux et les opérations de base en évitant toutes les opérations de l'arithmétique des nombres réels flottants.
\begin{pmatrix}A'\\B'\\C'\\D'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\{1\over 2}&{1\over 2}&0&0\\{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0\\{1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}

ou

D\leftarrow (C+D)/2,
C\leftarrow (B+C)/2, D\leftarrow (C+D)/2,
B\leftarrow (A+B)/2, C\leftarrow (B+C)/2, D\leftarrow(C+D)/2

Plus précisément, on peut décomposer la courbe P(t) en deux courbes PL et PR dont les points de contrôles sont respectivement (L1, L2,L3,L4) et (R1, R2,R3,R4) avec

\begin{pmatrix}L_1'\\L_2'\\L_3'\\L_4'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\{1\over 2}&{1\over 2}&0&0\\{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0\\{1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}R_1'\\R_2'\\R_3'\\R_4'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
{1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}\\
0&{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}\\
0&0&{1\over 2}&{1\over 2}\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\end{pmatrix}

Bezier rec.png

Lors de cet appel récursif pour tracer P(t), étant donné que la courbe de Bézier passe par le premier et le dernier point de contrôle, la position des extrémités de chaque morceau (L1, L4=R1 et R4) est connue. Lorsque l'on implémente un tel tracé, le critère d'arrêt de la récurrence peut être lié à la distance entre la sous-courbe à tracer et le segment [L1,L4] par exemple.


Note : l'arithmétique des nombres réels flottants étant disponible directement sur les processeurs modernes, elle est devenue bien plus rapide que l'allocation de mémoire nécessaire pour une récursion. De plus, une méthode qui fournit les pixels de la courbe à tracer sans aller de proche en proche ne permet pas d'antialiasing. La récursion n'est donc plus la bonne méthode pour tracer les courbes de Bézier ; on utilisera avantageusement la méthode qui parcourt les pixels de proche en proche en calculant à chaque pas un « défaut de tangente » utilisable pour l'antialiasing.

Le calcul d'un point d'une courbe de Bézier peut également s'effectuer en utilisant la méthode de Horner en calculant préalablement les coefficients vectoriels \mathbf{a_i} du polynôme :


\mathbf{a_i}=\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix} \mathbf{P_j} \qquad \mbox{pour} \qquad  i=0...m

Exemples[modifier | modifier le code]

Courbe de Bézier linéaire (de degré 1)
Les points de contrôle P0 et P1 définissent la courbe de Bézier donnée par l'équation :
\mathbf{B}(t)=(1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1 \mbox{ , } t \in [0,1].
Il s'agit donc du segment [P0, P1].
Courbe de Bézier quadratique (de degré 2)
Une courbe de Bézier quadratique est la courbe B(t) définie par les points de contrôle P0, P1 et P2.
\mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{P_0} + 2t(1 - t)\mathbf{P_1} + t^{2}\mathbf{P_2} \mbox{ , } t \in [0,1].
Ces courbes quadratiques sont encore très utilisées aujourd'hui (par exemple dans les définitions de glyphes des polices de caractères au format TrueType, et les polices OpenType dans leur variété compatible TrueType).
Toutefois, si elles permettent d'assurer la continuité en tangence de deux courbes raccordées, elles ne permettent pas (en général) de conserver la continuité de la courbure aux points d'interconnexion. Pour pallier cet inconvénient, il est alors nécessaire d'augmenter le nombre d'arcs interconnectés afin de réduire les ruptures de courbure entre chacun d'eux, ce qui en limite l'intérêt et peut conduire à une complexification de la conception des courbes (avec davantage de sommets et de points de contrôles à positionner).
Courbe de Bézier cubique (de degré 3)
Une courbe de Bézier cubique est la courbe B(t) définie par les points de contrôle P0, P1, P2 et P3. Sa forme paramétrique est :
\mathbf{B}(t)=\mathbf{P_0}(1-t)^3+3\mathbf{P_1}t(1-t)^2+3\mathbf{P_2}t^2(1-t)+\mathbf{P_3}t^3 \mbox{ , } t \in [0,1].
Ce sont les courbes de Bézier les plus utilisées en conception graphique (car elles permettent d'assurer non seulement la continuité en tangence de deux courbes raccordées, mais aussi celle de leur courbure, tout en évitant d'avoir à positionner de nombreux sommets et points de contrôle).
Elles sont utilisées par exemple dans le langage PostScript et la définition des glyphes des polices de caractères de « type 1 », ainsi que dans les polices OpenType dans leur variété CFF (Compact Font Format) qui reprend les mêmes définitions de sommets et points de contrôle.
Courbe de Bézier de degré supérieur à 3
Elles sont rarement utilisées. On préfère se ramener à l'utilisation de courbes cubiques que l'on raccorde afin de conserver le bénéfice de la continuité de courbure. Pour cela, il faut et il suffit que le dernier point d'une courbe soit le premier d'une autre. On obtient ainsi une courbe continue.
Par exemple, pour une courbe définie par les points A, B, C, D, E, F et G, on utilise les courbes cubiques définies par A, B, C, et D, et par D, E, F, et G et la continuité est ainsi assurée. Pour avoir une courbe C1 en D, il faut que [C, D] = [D, E], et si en plus on veut qu'elle soit C2 en D, alors [B, D] = [D, F], et de même pour les dérivées successives. Toutefois, cette transformation fait perdre la continuité C3 en D (et la seule façon d'y pallier est d'insérer des points de contrôle supplémentaires (afin d'augmenter le nombre d'arcs cubiques pour obtenir une meilleure approximation et au moins assurer la continuité C3 dans les points initiaux, mais pas autour des points de contrôle ajoutés).
L’intérêt des courbes de Bézier de degré 4 ou plus est toutefois plus limité aujourd'hui du fait de l’avancée et de l'intégration du support des B-splines non uniformes dans les bibliothèques graphiques modernes, et notamment des NURBS, à coefficients rationnels, équivalentes à des B-splines non uniformes (mais à poids entiers en progression non nécessairement arithmétique, comme c'est le cas des courbes de Bézier), ces B-splines étant cependant calculées d'abord dans un espace projectif à coordonnées homogènes, et qui permettent de conserver l'ensemble des avantages de B-splines de degré 3 ou supérieur, y compris dans le cas des courbes coniques (non linéaires) qui sont impossibles à représenter exactement avec des courbes de Bézier autrement qu'avec une approximation par un grand nombre de sommets et de points de contrôle.

Applications[modifier | modifier le code]

Animation du tracé d’une courbe de Bézier, avec t = 0,1.
Courbe de Bézier utilisée dans Inkscape.
Synthèse d'images
  • Les courbes de Bézier composent l'outil de la base du dessin vectoriel qui repose sur la transcription mathématique des objets. Le format Scalable Vector Graphics (SVG) permet de tracer des courbes de Bézier quadratique et cubique[2]. Les courbes de Bézier cubiques sont également utilisées par les logiciels de dessin vectoriel suivants :
    • Dans le logiciel libre JPicEdt il y a un outil pour créer et éditer des chaines de courbes de Bézier d'ordre 3.
    • Dans le logiciel libre Inkscape.
  • Les courbes de Bézier cubiques, les plus utilisées, se retrouvent en graphisme et dans de multiples systèmes de synthèse d'images, tels que PostScript, Metafont et GIMP, pour dessiner des courbes « lisses » joignant des points ou des polygones de Bézier.
  • Les courbes de Bézier apparaissent dans les navigateurs compatibles HTML5 dans l'élément canvas.
  • Les courbes de Bézier apparaissent également dans des logiciels de rendu 3D tels que Blender.
  • Dans le logiciel de dessin matriciel, Paint, il est possible de créer des courbes de Bézier avec l'outil "Courbe". Cela se fait en traçant un trait de P0 à P3 puis en cliquant successivement aux lieux de P1 et P2.
Rendus de polices de caractères
  • Les textes sont également définis par des courbes de Bézier dans le cadre des fonctions de PAO comme la mise en page complexe, la gestion de bloc de texte, les habillages.
  • Les polices de caractères TrueType utilisent des courbes de Bézier quadratiques plus simples.

Gravure musicale

  • En gravure musicale, les traits de legato sont traditionnellement représentés par des courbes de Bézier cubiques. Cette méthode permet de reproduire tant les courbes classiques que celles, plus rare, présentant des points d'inflexion.

Courbe de Bézier rationnelle[modifier | modifier le code]

Pour décrire très exactement des courbes comme les cercles (bien qu'en pratique les approximations par les courbes de Bézier soient suffisantes), il faut des degrés de liberté supplémentaires.

L'idée est d'ajouter des poids aux points de contrôle (ce sont les \omega_i). Le dénominateur n'est là que pour normaliser la somme des poids supplémentaires, afin que la courbe soit définie comme une combinaison convexe des points de contrôle.

Une courbe de Bézier rationnelle prend la forme générale suivante:

\mathbf{B}(t) = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^n B_i^n(t) \omega_i \mathbf{P}_{i} }
{\displaystyle\sum_{i=0}^n B_i^n(t) \omega_i }

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Courbes et Surfaces, Pierre Bézier, Hermès, 1986
  • Modèles de Bézier, des B-splines et des NURBS, G Demengel, JP Pouget, Éditions Ellipses (Approche pédagogique pour dévoiler la boîte noire de ces modèles utilisés en CAO pour la modélisation des courbes et des surfaces.)
  • Annexe G du livre de Yannis Haralambous, Fontes & codages, O'Reilly France,‎ 2004, 990 p. (ISBN 9782841772735)
  • (en) Donald Knuth : Metafont: the Program, Addison-Wesley 1986, pp. 123-131. Excellente discussion sur les détails de l'implémentation; disponible gratuitement comme partie intégrante de la distribution de TeX.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]