Méthode des caractéristiques

En mathématiques, la méthode des caractéristiques est une technique permettant de résoudre les équations aux dérivées partielles. Particulièrement adaptée aux problèmes de transport, elle est utilisée dans de nombreux domaines tels que la mécanique des fluides ou le transport de particules.

Dans certains cas particuliers, la méthode des caractéristiques peut permettre la résolution purement analytique de l'équation aux dérivées partielles. Dans les cas plus complexes (rencontrés par exemple en modélisation des systèmes physiques), la méthode des caractéristiques peut être utilisée comme une méthode de résolution numérique du problème.

Méthode analytique

Principe général

Pour une équation aux dérivées partielles du premier ordre, la méthode des caractéristiques cherche des courbes (appelées « lignes caractéristiques », ou plus simplement « caractéristiques ») le long desquelles l'équation aux dérivées partielles se réduit à une simple équation différentielle ordinaire. La résolution de l'équation différentielle ordinaire le long d'une caractéristique permet de retrouver la solution du problème original.

Exemple : Résolution analytique de l'équation de transport

On cherche une fonction $u$ :

$u:(x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\mapsto u(x,t)\in \mathbb {R}$

solution du problème suivant :

$\left\{{\begin{array}{l l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad &(x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\\u(x,0)=u_{0}(x),&x\in \mathbb {R} \end{array}}\right.$

dans laquelle c est une constante.

On cherche une ligne caractéristique $\left(x(s),t(s)\right)$ le long de laquelle cette équation aux dérivées partielles du premier ordre se réduirait à une équation différentielle ordinaire. Calculons la dérivée de $u$ le long d'une telle courbe :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}u\left(x(s),t(s)\right)={\frac {\partial u}{\partial x}}\left(x(s),t(s)\right)x'(s)+{\frac {\partial u}{\partial t}}\left(x(s),t(s)\right)t'(s)$.

En imposant $t'=1$ et $x'=c$, on obtient :

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} s}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

La solution de l'équation reste donc constante le long de la ligne caractéristique.

Il vient ainsi trois équations différentielles ordinaires à résoudre :

• $t'=1$ : en posant $t(0)=0$, on obtient :

  $\forall s\in \mathbb {R} ^{+}\quad t(s)=s$ ;

• $x'=c$ : en notant $x(0)=x_{0}$, on obtient :

  $\forall s\in \mathbb {R} ^{+}\quad x(s)=x_{0}+cs=x_{0}+ct$ ;

• ${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} s}}=0$ :

  $\forall s\in \mathbb {R} ^{+}\quad u(s)=u(0)=u(x_{0},0)=u_{0}(x_{0})$.

Dans ce cas, les lignes caractéristiques sont donc des droites de pente c, le long desquelles la solution reste constante. La valeur de la solution en un point $(x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}$ peut donc être retrouvée en cherchant la valeur de la condition initiale $u_{0}$ à l'origine $x_{0}=x-ct$ de la ligne caractéristique :

$\forall (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\quad u(x,t)=u_{0}(x-ct).$

Cadre général des opérateurs différentiels linéaires

Soit X une variété différentiable et P un opérateur différentiel linéaire de $C^{\infty }(X)$ dans lui-même d'ordre k. En se donnant un système de coordonnées xⁱ, P peut s'écrire sous la forme

$P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}$

où α désigne un multi-indice. Le symbole principal de P, noté σ_P, est la fonction sur le fibré cotangent T^∗X défini dans un système de coordonnées local ξ_i par

$\sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }$

où les coordonnées ξ_i sont induites par les différentielles dxⁱ respectivement. Ceci permet d'assurer que σ_P est bien défini sur le fibré.

La fonction σ_P est homogène de degré k en ξ. Ces zéros, hors de la section nulle de T^∗X, sont les caractéristiques de P. Une hypersurface de X définie par l'équation F(x) = c est appelée hypersurface caractéristique en x si

$\sigma _{P}(x,dF(x))=0.$

Invariant

Les invariants de Riemann sont constants le long des courbes caractéristiques des équations aux dérivées partielles.

Références

• Hélène Freda, Méthode des caractéristiques pour l’intégration des équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques, coll. « Mémorial des sciences mathématiques », 1937 (lire en ligne)