Couple (physique)

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Le couple est un concept fondamental de la mécanique, domaine de la physique qui étudie les mouvements et les déformations des systèmes. Un couple appliqué à un système provoque une variation de son moment cinétique sans modifier le mouvement de son centre de gravité[1]

En d'autres termes, on appelle couple tout ensemble d'actions mécaniques dont la résultante sur le système \vec{R} est nulle et le moment résultant \vec{M}_0 par rapport à un point O est non nul. Ce moment est alors indépendant du point O, comme démontré ci-dessous.

Un couple est l'effort en rotation appliqué à un axe. Il est ainsi nommé en raison de la façon caractéristique dont on obtient ce type d'action : un bras qui tire, un bras qui pousse, les deux forces étant égales et opposées. Lorsque le couple ne s'exerce pas rigoureusement dans l'axe, il se produit une rotation de cet axe (précession).

Unité de mesure[modifier | modifier le code]

On mesure le couple en newtons-mètres (N·m). L'unité de travail, le joule (J), est homogène au newton-mètre : un couple de 1 N·m appliqué à un axe qui tourne d'un tour représente un ajout d'énergie de 2 π J. On le représente par un vecteur dans l'axe de rotation, vers le haut pour une rotation dans le sens trigonométrique (qui est l'inverse du sens des aiguilles d'une montre), comme la vitesse de rotation.

Par rapport à un mouvement rectiligne, on a les analogies suivantes :

force F (en N) couple C (en N·m)
masse m (en kg) moment d'inertie I (en kg·m²)
vitesse v (en m/s) vitesse angulaire ω (en rad/s)
énergie cinétique E = 1/2 m·v² (en joules) énergie cinétique E = 1/2 I·ω² (en joules)
puissance P = F·v (en watts) puissance P = C·ω (en watts)
accélération a = F/m (m/s²) accélération angulaire α = C/I (rad/s²)

Propriété fondamentale du couple[modifier | modifier le code]

Moment d'une force[modifier | modifier le code]

Le moment d'une force F, par rapport à un point O, dont le point d'application est au point M, est défini par :

 \vec{\mathcal{M}}_O  \ = \ \vec{OM} \wedge \vec{F}(M)

Un théorème général[modifier | modifier le code]

Supposons le système d'actions mécaniques représentable par un ensemble dénombrable de forces \vec{F}_i où l'indice \ i = 1, \cdots, n. Pour ce système d'actions mécaniques, le moment résultant est :

 \vec{\mathcal{M}}_O  \ = \ \sum_{i=1}^n \ \vec{\mathcal{M}}_i 
\ = \  \sum_{i=1}^n \ \vec{OM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i)

Calculons alors le moment résultant par rapport à un autre point A :

 \vec{\mathcal{M}}_A \ = \  \sum_{i=1}^n \ \vec{AM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i)

On écrit que chaque vecteur position se décompose comme suit :

 \vec{AM}_i \ = \ \vec{AO} \ + \ \vec{OM}_i

d'où le moment résultant :

 \vec{\mathcal{M}}_A \ = \  \sum_{i=1}^n \ \vec{AO} \wedge \vec{F}_i(M_i) \ + \  \sum_{i=1}^n \ \vec{OM}_i \wedge \vec{F}_i(M_i)

La seconde somme représente le moment résultant en O. De plus, dans la première somme, le vecteur  \vec{AO} est indépendant de l'indice i ; on peut donc le sortir de la somme et écrire :

 \sum_{i=1}^n \vec{AO} \wedge \vec{F}_i(M_i) \ = \ \vec{AO} \wedge \left[ \sum_{i=1}^n \vec{F}_i(M_i) \right]

La somme qui apparait n'est autre que la résultante des forces :

 \vec{R} \ = \ \sum_{i=1}^n \vec{F}_i(M_i)

d'où le théorème général :

 \vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \vec{\mathcal{M}}_O \ + \ \vec{AO} \wedge \vec{R}

Cas particulier du couple[modifier | modifier le code]

Le couple étant un système d'actions mécaniques dont la résultante \vec{R} est nulle, son moment résultant est indépendant du point choisi pour le calculer :

 \vec{\mathcal{M}}_A \ = \ \vec{\mathcal{M}}_O

On utilise souvent la notation  \vec{\Gamma} pour représenter le moment résultant d'un couple. Compte tenu du résultat précédent, il n'est en effet pas nécessaire de préciser le point choisi pour calculer le moment.

Représentations d'un couple[modifier | modifier le code]

Il existe une infinité de représentations différentes d'un même couple  \vec{\Gamma} donné.

Représentation la plus simple[modifier | modifier le code]

La plus simple, qui lui donne son nom, consiste à considérer un ensemble de deux forces :


  • l'une, \vec{F}_1, appliqué en un point  M_1 différent de l'origine  O fixée.


  • l'autre, \vec{F}_2 \ = \ - \ \vec{F}_1, appliqué en un point  M_2 symétrique du point  M_1 par rapport à l'origine  O .


Ainsi, la résultante \vec{R} \ = \ \vec{F}_1 \ + \ \vec{F}_2 \ = \ \vec{0} est bien nulle. On suppose de plus que les vecteurs  \vec{F}_1 et  \vec{F}_2 ne sont pas colinéaires au vecteur  \vec{M_1M_2}  ; le cas le plus simple consiste à prendre les deux forces perpendiculaires à ce vecteur :

Couple phys.jpg

Si on note la distance  || \vec{OM}_1 || = || \vec{OM}_2 || = d , la norme des forces  || \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = F , et  \vec{u} le vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la figure, le couple vaut explicitement :

 \vec{\Gamma} \ = \ 2 \ d \ F \  \vec{u}

Exemples d'autres représentations[modifier | modifier le code]

On peut représenter le même couple \vec{\Gamma} que dans l'exemple précédent par d'autres ensembles d'actions mécaniques. Par exemple, par deux forces :


  • l'une, \vec{F}_1, appliqué au point  O .


  • l'autre, \vec{F}_2 \ = \ - \ \vec{F}_1, appliqué en un point  M_3 situé à une distance non nulle de l'origine  O .


Ainsi, la résultante \vec{R} \ = \ \vec{F}_1 \ + \ \vec{F}_2 \ = \ \vec{0} est toujours nulle. Pour simplifier, on peut encore supposer que les vecteurs  \vec{F}_1 et  \vec{F}_2 sont perpendiculaires au vecteur  \vec{OM_3}  :

Couple2 phys.jpg


Pour retrouver la même valeur du couple :  \vec{\Gamma} \ = \ 2 \ d \ F \  \vec{u} , il suffit de prendre par exemple une combinaison du type :


  •  || \vec{OM}_3 || = d et :  || \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = 2F


  • ou :  || \vec{OM}_3 || = 2d et :  || \vec{F}_1 || = || \vec{F}_2 || = F


Il existe une infinité de représentations possibles ...

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

  • (histoire des sciences) La mise en évidence de la notion de couple par Poinsot (1803), en ligne et commenté sur BibNum.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck,‎ 2013, p. 154.