Cosinus directeur

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En géométrie analytique, un cosinus directeur est le cosinus de l'angle entre deux vecteurs. Les cosinus directeurs réfèrent généralement aux cosinus des angles formés entre un vecteur et chacun des axes de sa base, plus particulièrement une base cartésienne.

Les cosinus directeurs sont notamment utilisés pour former des matrices de rotation exprimant une base orthonormale en fonction d'une autre, ou exprimant un vecteur d'une base à une autre.

Formalisme[modifier | modifier le code]

Si v est un vecteur exprimé par l'équation suivante,

{\mathbf v}= v_1 \boldsymbol{\hat{x}} + v_2 \boldsymbol{\hat{y}} + v_3 \boldsymbol{\hat{z}}

v_1, v_2 et v_3 sont les composantes et \boldsymbol{\hat{x}}, \boldsymbol{\hat{y}}, \boldsymbol{\hat{z}} forment la base cartésienne, alors les cosinus directeurs sont :

\begin{align}
\alpha & = \cos a = \frac{{\mathbf v} \cdot \boldsymbol{\hat{x}} }{ \left \Vert {\mathbf v} \right \Vert } & = \frac{v_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}} ,\\
\beta  & = \cos b = \frac{{\mathbf v} \cdot \boldsymbol{\hat{y}} }{ \left \Vert {\mathbf v} \right \Vert } & = \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}} ,\\
\gamma  &= \cos c = \frac{{\mathbf v} \cdot \boldsymbol{\hat{z}} }{ \left \Vert {\mathbf v} \right \Vert } & = \frac{v_3}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}.
\end{align}

où a, b et c sont les angles formés entre le vecteur et les axes \boldsymbol{\hat{x}}, \boldsymbol{\hat{y}}, \boldsymbol{\hat{z}}.

Il en découle que


\cos ^2 a + \cos ^2 b + \cos ^2 c = 1

Ainsi, \alpha, \beta et \gamma sont les coordonnées cartésiennes du vecteur unitaire \boldsymbol{\hat{v}}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) K. T. Tang, Mathematical Methods for Engineers and Scientists, vol. 2, Springer,‎ 2006 (ISBN 3-540-30268-9), p. 13

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]