Corrélation partielle

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Formule[modifier | modifier le code]

Le coefficient de corrélation partielle, noté ici r_{AB.C}, permet de connaître la valeur de la corrélation entre deux variables A et B, si la variable C était demeurée constante pour la série d’observations considérées.


Dit autrement, le coefficient de corrélation partielle r_{AB.C} est le coefficient de corrélation totale entre les variables A et B quand on leur a retiré leur meilleure explication linéaire en termes de C. Il est donné par la formule :


 r_{AB.C} = \dfrac{ r_{AB} - r_{AC}\cdot r_{BC}}{\sqrt{ 1-r_{AC}^2}\cdot\sqrt{ 1-r_{BC}^2}}


Démonstration géométrique[modifier | modifier le code]

La démonstration la plus rapide de la formule consiste à s’appuyer sur l’interprétation géométrique de la corrélation (cosinus).

Les séries d’observations A, B et C, une fois centrées réduites, sont des vecteurs centrés OA, OB, OC de longueur unité :

PartialCorrelation.png

Leurs extrémités déterminent un triangle sphérique ABC, dont les côtés a, b et c sont les arcs de grands cercles BC, AC et AB. Les coefficients de corrélations entre ces vecteurs sont r_{BC}=cos(a), r_{AC} = cos(b) et r_{AB} = cos(c). Alors la loi fondamentale des triangles sphériques donne, pour l'angle C, la relation suivante entre les cosinus :

 cos(C) = \dfrac{cos(c)-cos(a).cos(b)}{sin(a).sin(b)} = \dfrac{cos(c)-cos(a).cos(b)}
{\sqrt{1-cos^2(a)}\cdot\sqrt{1-cos^2(b)}}


De même que c est l'angle entre les points A et B, vus du centre de la sphère, C est l'angle sphérique entre les points A et B, vus du point C à la surface de la sphère, et r_{AB.C}=cos(C) est la « corrélation partielle » entre A et B quand C est fixé.

Domaines d'application[modifier | modifier le code]

La notion de corrélation partielle est utilisée :

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Y. A. Fisher (1924). The distribution of the partial correlation coefficient. Metron 3 (3–4): 329–332.
  • (en) Formules mathématiques dans la section « Description » de l'IMSL PCORR routine