Copule (mathématiques)

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En statistiques, une copule est un objet mathématique venant de la théorie des probabilités. La copule permet de caractériser la dépendance entre les différentes coordonnées d'une variable aléatoire à valeurs dans $\R^d$ sans se préoccuper de ses lois marginales.

Sommaire

1 Aspects probabilistes des copules
2 Quelques copules classiques
3 Aspects statistiques
- 3.1 Liens externes

Aspects probabilistes des copules [modifier]

Une copule est une fonction de répartition, notée $C$ , définie sur $[0,1]^d$ dont les marges sont uniformes sur $[0,1]$ . Une caractérisation est alors que $C(u_1,...,u_d)=0$ si une des composantes $u_i$ est nulle, $C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i$ , et $C$ est d- croissante.

En dimension 2, $C(0,v)=C(u,0)=0$ pour tout u et v, $C(u,1)=u$ et $C(1,v)=v$ , pour tout u et v, et enfin, la propriété de 2-croissance se traduit par $C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq 0$ .

L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si $(U,V)$ admet pour fonction de répartition $C$ , $\mathbb{P}(u_1<U<u_2,v_1<V<v_2)=C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq 0$ , la mesure $\mathbb{P}$ étant nécessairement positive.

Le théorème de Sklar dit que si $C$ est une copule, et si $F_1,...,F_d$ sont des fonctions de répartition (univariées), alors $F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))$ est une fonction de répartition de dimension $d$ , dont les marges sont précisément $F_1,...,F_d$ .

Et réciproquement, si $F$ est une fonction de répartition en dimension $d$ , il existe une copule $C$ telle que $F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d))$ , où les $F_i$ sont les lois marginales de $F$ .

Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule $C$ est alors unique, et donnée par la relation $C(u_1,...,u_d)=F(F_1^{-1} (u_1),...,F_d^{-1} (u_d))$ . Dans ce cas, on pourra alors parler de la copule associée à un vecteur aléatoire $(X_1,...,X_d)$ .

La copule d'un vecteur aléatoire $(X_1,...,X_d)$ est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire $(F_1(X_1),...,F_d(X_d))$ , que l'on notera parfois $(U_1,...,U_d)$ .

Quelques copules classiques [modifier]

Parmi les copules usuelles, la copule produit $\Pi(u_1,...,u_d)=u_1 \cdot u_2 \cdot ... \cdot u_d$ (on parlera aussi de copule indépendante). $(X_1,...,X_d)$ a des composantes indépendantes si et seulement si $\mathcal{}\Pi$ est une copule du vecteur $(X_1,...,X_d)$ .

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Copule indépendante
Copule indépendante

La copule comonotone, ou copule du minimum, est définie par $M(u_1,...,u_d)=\min\{u_1,....,u_d\}$ . $M$ est une copule du vecteur $(X_1,...,X_d)$ si et seulement s'il existe des transformations croissantes $g_{i,j}$ telles que $X_i=g_{i,j}(X_j)$ . Cette copule correspond à la borne supérieur de Fréchet-Hoeffding, au sens où pour toute copule $C$ , $C(u_1,...,u_d)\leq M(u_1,...,u_d)$ .

Une classe particulièrement importante de copule est celle des copules archimédiennes, définies par $C(u_1,...,u_d)=\phi^{-1}(\phi(u_1)+...+\phi(u_d))$ , où $\phi$ (appelé générateur de la copule archimédienne) est au moins $d-2$ fois continument dérivable, dont la dérivé $d-2$ est décroissante convexe, et telle que $\phi(1)=0$ .

Ce générateur est unique à une constante (positive) multiplicative près. Une sous-classe relativement large est obtenue lorsque $\phi$ est l'inverse d'une transformée de Laplace (et une interprétation factorielle est alors possible). Parmi les cas particuliers,

la copule indépendante obtenue lorsque $\phi(t) = -\log(t)$ ,

la copule de Clayton obtenue lorsque $\phi(t) = \frac{t^{-\alpha}-1}{\alpha}$ , avec $\alpha\geq -1$ . Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi Gamma. Cette copule est la seule copule archimédienne invariante par troncature,

la copule de Gumbel obtenue lorsque $\phi(t) = (-\log(t)) ^\alpha$ , avec $\alpha\geq 1$ .

Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi stable. Cette copule est la seule copule archimédienne vérifiant une propriété de max-stabilité, c’est-à-dire $C(u^n_1,...,u^n_d)=C^n(u_1,...,u_d)$ , pour tout $n\geq 1$ ,

la copule de Frank obtenue lorsque $\phi(t) = -\log\frac{e^{-\alpha t}-1 }{e^{-\alpha }-1 }$ . Cette copule est la seule qui soit symétrique dans la queue inférieure et supérieure,