Copule (mathématiques)

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En statistiques, une copule est un objet mathématique venant de la théorie des probabilités. La copule permet de caractériser la dépendance entre les différentes coordonnées d'une variable aléatoire à valeurs dans \R^d sans se préoccuper de ses lois marginales.

Aspects probabilistes des copules[modifier | modifier le code]

Une copule est une fonction de répartition, notée C, définie sur [0,1]^d dont les marges sont uniformes sur [0,1]. Une caractérisation est alors que C(u_1,...,u_d)=0 si une des composantes u_i est nulle, C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i, et C est d- croissante.

En dimension 2, C(0,v)=C(u,0)=0 pour tout u et v, C(u,1)=u et C(1,v)=v, pour tout u et v, et enfin, la propriété de 2-croissance se traduit par C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq 0.

L'interprétation de cette notion de croissance se fait en notant que si (U,V) admet pour fonction de répartition C, \mathbb{P}(u_1<U<u_2,v_1<V<v_2)=C(u_1,v_1)-C(u_1,v_2)-C(u_2,v_1)+C(u_2,v_2)\geq 0, la mesure \mathbb{P} étant nécessairement positive.

Le théorème de Sklar dit que si C est une copule, et si F_1,...,F_d sont des fonctions de répartition (univariées), alors F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d)) est une fonction de répartition de dimension d, dont les marges sont précisément F_1,...,F_d.

Et réciproquement, si F est une fonction de répartition en dimension d, il existe une copule C telle que F(x_1,...,x_d)=C(F_1(x_1),...,F_d(x_d)), où les F_i sont les lois marginales de F.

Si ces lois marginales sont toutes continues, la copule C est alors unique, et donnée par la relation C(u_1,...,u_d)=F(F_1^{-1} (u_1),...,F_d^{-1} (u_d)). Dans ce cas, on pourra alors parler de la copule associée à un vecteur aléatoire (X_1,...,X_d).

La copule d'un vecteur aléatoire (X_1,...,X_d) est alors la fonction de répartition du vecteur aléatoire (F_1(X_1),...,F_d(X_d)), que l'on notera parfois (U_1,...,U_d).

Quelques copules classiques[modifier | modifier le code]

Parmi les copules usuelles, la copule produit \Pi(u_1,...,u_d)=u_1 \cdot u_2 \cdot ... \cdot u_d (on parlera aussi de copule indépendante). (X_1,...,X_d) a des composantes indépendantes si et seulement si \mathcal{}\Pi est une copule du vecteur (X_1,...,X_d).

La copule comonotone, ou copule du minimum, est définie par M(u_1,...,u_d)=\min\{u_1,....,u_d\}. M est une copule du vecteur (X_1,...,X_d) si et seulement s'il existe des transformations croissantes g_{i,j} telles que X_i=g_{i,j}(X_j). Cette copule correspond à la borne supérieur de Fréchet-Hoeffding, au sens où pour toute copule C, C(u_1,...,u_d)\leq M(u_1,...,u_d).

Une classe particulièrement importante de copule est celle des copules archimédiennes, définies par C(u_1,...,u_d)=\phi^{-1}(\phi(u_1)+...+\phi(u_d)), où \phi (appelé générateur de la copule archimédienne) est au moins d-2 fois continument dérivable, dont la dérivé d-2 est décroissante convexe, et telle que \phi(1)=0.

Ce générateur est unique à une constante (positive) multiplicative près. Une sous-classe relativement large est obtenue lorsque \phi est l'inverse d'une transformée de Laplace (et une interprétation factorielle est alors possible). Parmi les cas particuliers,

  • la copule indépendante obtenue lorsque  \phi(t) = -\log(t)  ,
  • la copule de Clayton obtenue lorsque  \phi(t) = \frac{t^{-\alpha}-1}{\alpha} , avec \alpha\geq -1. Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi Gamma. Cette copule est la seule copule archimédienne invariante par troncature,
  • la copule de Gumbel obtenue lorsque  \phi(t) = (-\log(t)) ^\alpha , avec \alpha\geq 1.

Le générateur est alors l'inverse de la transformée de Laplace de la loi stable. Cette copule est la seule copule archimédienne vérifiant une propriété de max-stabilité, c’est-à-dire C(u^n_1,...,u^n_d)=C^n(u_1,...,u_d), pour tout n\geq 1,

  • la copule de Frank obtenue lorsque \phi(t) = -\log\frac{e^{-\alpha t}-1 }{e^{-\alpha }-1 }   . Cette copule est la seule qui soit symétrique dans la queue inférieure et supérieure,

Les copules elliptiques...

Aspects statistiques[modifier | modifier le code]

D'un point de vue statistique, les copules apparaissent naturelles comme la distribution des rangs]

Les copules apparaissent dans les espaces métriques de probabilité ou en logique floue (fuzzy logic).

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]