Convergence d'une suite

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Une suite de nombres réels est dite convergente lorsqu'elle admet un nombre réel comme limite.

Cette notion a été généralisée, en topologie : une suite définie sur un espace topologique E converge vers un élément l de E si tout ouvert de E contenant l contient tous les éléments de la suite à partir d'un certain rang.

Une suite qui n'est pas convergente est une suite qui n'admet pas de limite ou dont la limite n'est pas dans l'ensemble étudié (par exemple, une suite de réels qui a pour limite +∞ n'est pas convergente).

La démonstration de la convergence d'une suite, ainsi que la recherche et l'amélioration d'algorithmes de calcul d'une valeur approchée de la limite trouvent une place centrale dans la résolution de problèmes, en conjuguant les raisonnements de topologie, d'analyse numérique, d'algorithmique et des techniques de calcul et d'informatique.

Suites numériques[modifier | modifier le code]

Dans ce paragraphe, u désigne une suite de nombres réels.

Théorèmes de convergence[modifier | modifier le code]

Dans certains cas, il est possible de prouver qu'une suite converge sans même connaître sa limite.

Convergence d'une suite monotone — 

  • Une suite croissante et majorée est convergente.
  • Une suite décroissante et minorée est convergente.

Ce théorème est notamment utile pour prouver la convergence de série à termes positifs. Il est ainsi relativement aisé de démontrer qu'une série de Riemann \sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^\alpha}, où α est un réel strictement supérieur à 1, converge, mais on ne connaît pas les limites dans le cas général, hormis lorsque α est un entier pair.

Autres théorèmes d'existence d'une limite :

Détermination de la limite[modifier | modifier le code]

Théorème du point fixe — Si u est une suite numérique réelle convergente définie par récurrence par son premier terme et la relation u_{n+1}=f(u_{n}), où f est une fonction continue, alors la limite \ell de u est un point fixe de f. C'est-à-dire : \ell vérifie f(\ell)=\ell ou f(\ell)-\ell =0.

Un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction est alors souvent utile, si on ne peut résoudre l'équation f(\ell)-\ell =0 de manière exacte.