Constantes mathématiques (représentées en fraction continuée)

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Voici une table de constantes mathématiques et leurs représentations en fraction continue :

Nom Ensemble de nombres Définition ou valeur approchée Représentations en fraction continue

0

0

[0;]
1/2

1/2

[0; 2]
γ

\lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right) où ln représente le logarithme népérien.
[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, …]
C2

\prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}
[0; 1, 1, 1, 16, 2, 2, 2, 2, 1, 18, 2, 2, 11, 1, 1, 2, 4, 1, 16, 3, 2, 4, 21, 2, 405, 2, 1, 33, 1, 1, …]
C1

ℝ\

I1(2)/I0(2)
[0; 1, 2, 3, 4, 5, …]
β* (en)

x_{n+1} = x_n \pm \beta x_{n-1}\,\! dégénère exponentiellement quand n \rightarrow \infty\,\! avec une probabilité 1.
[0; 1, 2, 2, 1, 3, 5, 1, 2, 6, 1, 1, 5, …]
K

ℝ(\ℚ ?)

\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{N(x)\sqrt{\ln(x)}}{x}N(x) est le nombre d'entiers positifs inférieurs à x qui sont la somme de deux carrés.
[0; 1, 3, 4, 6, 1, 15, 1, 2, 2, 3, 1, 23, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 2, 3, 3, 18, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 6, …]
B4

\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots


[0; 1, 6, 1, 2, 1, 2, 956, 8, 1, 1, 1, 23, …]
G

\frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + ...
[0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, …]
M

\lim_{n \rightarrow \infty } \left( 
\sum_{p \leq n} \frac{1}{p}  - \ln(\ln(n)) \right)=\gamma + \sum_{p} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]
[0; 3, 1, 4, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 13, 4, 2, 4, 2, 1, 33, 296, 2, 1, 5, 19, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, …]

1

1

[1;]
φ

Irrationnel quadratique

\frac{\sqrt{5} + 1}{2}

[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …]
E

ℝ\ℚ

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}

[1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, …]
B2

\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)
+ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots

[1; 1, 9, 4, 1, 1, 8, 3, 4, 7, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 12, 4, 2, 1, 2, 2, …]
K

 \sqrt[n]{|f_n|} \to 1,13198824\dots \mbox{quand }n \to \infty. où fn est une suite de Fibonacci aléatoire (en)
[1; 7, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 17, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, …]
2

ℝ\ℚ

Racine carrée de deux

[1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, …]
μ

Unique zéro positif de la fonction logarithme intégral  {\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{{\rm d}t}{\ln (t)}.

[1; 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 47, 2, 4, 1, 12, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 2, 1, 1, 1, 2, 30, 6, 3, 6, …]

2

2

[2;]
α

≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78

[2; 1, 1, 85, 2, 8, 1, 10, 16, 3, 8, 9, 2, 1, 40, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 17, 1, 1, 5, 3, 2, 6, 3, 5, 1, …]
e

ℝ\

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, …]
Kh

Pour :x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + ...}}} , il est presque toujours vrai que

\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K \approx 2,6854520010\dots
[2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 90, …]

3

3

[3;]
π

ℝ\

Produit de Wallis :

 \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1,

4, 2, …]

4

4

[4;]
δ

≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61

[4; 1, 2, 43, 2, 163, 2, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 80, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 33, 1, 1, 53, 1, 1, 1, 1, 1, …]