Constante d'Hermite

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En mathématiques, la constante d'Hermite γn, nommée d'après le mathématicien Charles Hermite, est définie de la manière suivante pour tout entier n > 0. Étant donné un réseau L, on note λ1(L) la norme d'un plus court vecteur non nul de L. Alors γn est le maximum de λ1(L) sur tous les réseaux L de l'espace euclidien Rn de volume fondamental égal à 1.

La constante d'Hermite est liée à la densité maximale Δn d'un empilement régulier d'hypersphères par la relation γn = 4 (Δn/Vn)2/nVn est le volume d'une hypersphère de dimension n et de rayon 1.

La suite des γn est d'ordre de croissance linéaire, mais on ne sait pas si c'est une suite croissante.

Valeurs connues[modifier | modifier le code]

La valeur exacte de \gamma_n est connue seulement pour n≤8 et n = 24[1].

n 1 2 3 4 5 6 7 8 24
\gamma_n^n 1 4/3 2 4 8 64/3 64 256 424

La valeur \gamma_2 = \tfrac{2}{\sqrt{3}} est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur \gamma_{24}=4 est atteinte par le réseau de Leech.

Encadrement[modifier | modifier le code]

Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante \gamma_n en fonction du volume d'une hypersphère en utilisant le théorème de Minkowski[2] : V_n^{-2/n} < \gamma_n \leq 4 V_n^{-2/n}.

Ceci implique que \gamma_n \geq n / (2 \pi e) pour n assez grand et \gamma_n \leq n pour tout n.

Par ailleurs, on a la majoration asymptotique[3] \gamma_n \leq 1,744n/(2 \pi e)+o(n).

Références[modifier | modifier le code]

  1. suite A007361 de l'OEIS
  2. John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer-Verlag 1973 (p. 31 et p. 17)
  3. (en) John Horton Conway et Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups (Second Edition), Springer-Verlag, 1993 (ISBN 0-387-97912-3), p. 20

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite constant » (voir la liste des auteurs)