Constante d'Erdős-Borwein

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La constante d'Erdős-Borwein est la somme des inverses des nombres de Mersenne.

Par définition, elle est égale à :


E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1} \approx 1,606 695 152 415 291 763...

Il peut être démontré l'équivalence des formes suivantes avec la formule précédente :


E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}

E=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{mn}}

E=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(2^n-1)}

E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_0(n)}{2^n}

\sigma_0(n)=d(n)\, est la fonction diviseur, une fonction multiplicative qui est égale au nombre de diviseurs positifs du nombre n. Pour démontrer l'équivalence de ces sommes, notons qu'elles prennent toutes la forme d'une série de Lambert et peuvent ainsi être reprises comme telles.

Paul Erdős en 1948 a démontré que la constante E est un nombre irrationnel.