Constante d'Erdős-Borwein

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La constante d'Erdős-Borwein est la somme E des inverses des nombres de Mersenne :


E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n-1}\approx 1,606695[1].

On peut démontrer que la première égalité ci-dessus équivaut à chacune des suivantes :


E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}

E=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{mn}}

E=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n(2^n-1)}

E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_0(n)}{2^n}

où σ0(n) = d(n) est la fonction diviseur, une fonction multiplicative égale au nombre de diviseurs positifs du nombre n. Pour démontrer que ces sommes sont égales, notons qu'elles prennent toutes la forme d'une série de Lambert et peuvent ainsi être resommées comme telles.

Paul Erdős a démontré en 1948 que E est un nombre irrationnel[2]. En 1991, Peter Borwein a montré[3] que plus généralement, pour tout entier relatif q et tout rationnel non nul r, \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{q^n-r}\notin\Q dès que la série converge, c'est-à-dire q différent de 0 et ±1 et r non puissance de q.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Borwein constant » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour plus de décimales, voir la suite A065442 de l'OEIS.
  2. (en) P. Erdős, « On arithmetical properties of Lambert series », J. Indian Math. Soc., vol. 12,‎ 1948, p. 63–66 (lire en ligne).
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Erdős-Borwein Constant », MathWorld.