Constante d'Apéry

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En mathématiques, la constante d'Apéry est la valeur en 3 de la fonction zêta de Riemann :

\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \cdots\simeq 1,2020569031595942853.

Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1977 que ce nombre est irrationnel (Théorème d'Apéry).

La constante d'Apéry était connue avec 32 000 279 décimales en 1998 (Sebastian Wedeniwski – 35 heures de travail)[réf. nécessaire], 1 000 000 000[1] en 2003 et jusqu'à 29 844 489 545 décimales en 2009[2]. Les 20 000 premières décimales sont rappelées par l'OEIS (voir suite A002117 de l'OEIS).

Occurrences[modifier | modifier le code]

Ce nombre apparaît dans diverses situations :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Transcendance[modifier | modifier le code]

Ce nombre est irrationnel, mais on ne sait pas s'il est transcendant.

Par comparaison, le nombre :

\zeta(2)=\sum_{n =1}^{\infty} \frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6

est transcendant. Cette égalité a été démontrée formellement par Leonhard Euler la première fois en 1735 (voir « Problème de Bâle »).

Forme fermée[modifier | modifier le code]

Par ailleurs, en 2013, il n'existe pas de forme fermée pour cette constante.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en)numbers.computation.free.fr The Apery's constant : zêta(3)
  2. eljjdx.canalblog.com Décimales
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Constant Primes », MathWorld.
  4. Frédéric Laroche, Promenades mathématiques, Ellipses,‎ 2004.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liste de nombres premiers

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Apéry's Constant », MathWorld