Constante d'Apéry

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En mathématiques, la constante d'Apéry est la valeur au point 3 de la fonction zêta de Riemann :

$\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \cdots\simeq 1,2020569031595942853.$

Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1977 que ce nombre est irrationnel (Théorème d'Apéry).

La constante d'Apéry était connue avec 32 000 279 décimales en 1998 (Sebastian Wedeniwski – 35 heures de travail)^{[réf. nécessaire]}, 1 000 000 000 en 2003 et jusqu'à 29 844 489 545 décimales en 2009. Les 20 000 premières décimales sont rappelées par l'OEIS (voir suite A002117 de l'OEIS).

Occurrences

Ce nombre apparaît dans diverses situations :

• dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ;
• en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye)
• en théorie des nombres : pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers > 0 pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à 1/ζ(k) (cf. § « Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »), en particulier la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, 1/ζ(3)≃0,831907…
• en théorie algorithmique des nombres : certaines concaténations jusqu'au rang « n » de chiffres constituant la valeur approchée de la constante d'Apéry (partie entière incluse et virgule non prise en compte) forment des nombres premiers. C'est le cas pour les valeurs de « n » égales à 10, 55, 109, 141 (voir suite A119334 de l'OEIS).

Propriétés

Transcendance

Ce nombre est irrationnel ; mais en 2013, les mathématiciens ne savaient pas s'il est transcendant.

Par comparaison, le nombre :

$\zeta(2)=\sum_{n =1}^{\infty} \frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$

est transcendant. Cette égalité a été démontrée formellement par Leonhard Euler la première fois en 1735 (voir « Problème de Bâle »).

Forme fermée

Par ailleurs, en 2013, il n'existe pas de forme fermée pour cette constante.

Voir aussi

Articles connexes

• Fonction zêta de Riemann
• Nombre transcendant
• Nombre premier
• Liste de nombres premiers

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Apéry's Constant », MathWorld
• Les décimales de la constante forment la suite A002117 de l'OEIS.