Conjecture de Milnor

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Page d'aide sur l'homonymie Pour l’article homonyme, voir Conjecture de Milnor (théorie des nœuds)

En mathématiques, la conjecture de Milnor[1] dit que pour tout corps F de caractéristique différente de 2, la K-théorie de Milnor modulo 2 de F est isomorphe à sa cohomologie étale (ou ce qui est équivalent : à sa cohomologie de Galois i.e. à la cohomologie de son groupe de Galois absolu, profini), à coefficients dans Z/2Z. Après être restée ouverte pendant environ vingt ans, cette conjecture a été démontrée en 1996 par Vladimir Voevodsky[2],[3],[4], qui a reçu pour cela une médaille Fields en 2002, et qui a contribué à la démonstration, en 2009, de sa généralisation : la conjecture de Bloch-Kato (en).

Énoncé du théorème[modifier | modifier le code]

Soit F un corps de caractéristique différente de 2. Pour tout entier naturel n, il existe un isomorphisme

K_n^M(F)/2 \cong H_{\acute{e}t}^n(F, \Z/2\Z).

À propos de la preuve[modifier | modifier le code]

Vladimir Voevodsky a démontré ce théorème en utilisant plusieurs idées développées par lui-même, Alexander Merkurjev (en), Andrei Suslin, Markus Rost (de), Fabien Morel (en), Eric Friedlander et d'autres, incluant sa toute nouvelle formulation de la cohomologie motivique (une sorte de substitut de la cohomologie singulière pour les variétés algébriques) et une version motivique de l'algèbre de Steenrod (en).

Généralisation[modifier | modifier le code]

La preuve de la conjecture de Bloch (de)-Kato (en), qui est l'analogue pour les nombres premiers différents de 2, a été achevée en 2009 grâce aux travaux de Voevodsky et Markus Rost (de). La conjecture de Quillen-Lichtenbaum (en) s'en déduit.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Milnor conjecture » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) John Willard Milnor, « Algebraic K-theory and quadratic forms », Inventiones Mathematicae, vol. 9, no 4,‎ 1970, p. 318-344 (DOI 10.1007/BF01425486)
  2. (en) V. Voevodsky, « The Milnor Conjecture », prépublication,‎ 1996 (lire en ligne)
  3. (en) Vladimir Voevodsky, « Reduced power operations in motivic cohomology », Publ. Math. IHES, no 98,‎ 2003, p. 1-57 (lire en ligne)
  4. (en) Vladimir Voevodsky, « Motivic cohomology with Z/2-coefficients », Publ. Math. IHES, no 98,‎ 2003, p. 59-104 (lire en ligne)

Bibliographie[modifier | modifier le code]