Conjecture de Herzog-Schönheim

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En mathématiques, la conjecture de Herzog-Schönheim est un problème de combinatoire et de théorie des groupes, dont la résolution généraliserait à un groupe quelconque le théorème de Mirsky-Newman, valable pour le groupe ℤ des entiers.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient G un groupe et {a1G1, … , akGk} (k > 1) une partition finie de G par des classes à gauches suivant des sous-groupes G1, … , Gk. Marcel Herzog et Jochanan Schönheim ont conjecturé[1] que les indices (finis[2]) [G:G1], … , [G:Gk] ne peuvent être tous distincts.

Groupes pyramidaux[modifier | modifier le code]

Berger, Felzenbaum et Frankel (de)[3] ont démontré cette conjecture dans le cas où G est un groupe fini « pyramidal », c'est-à-dire qu'il existe une suite de sous-groupes

\{1\}=G_n\subset G_{n-1}\subset\ldots\subset G_0=G

telle que pour chaque k < n, l'indice [Gk:Gk +1] soit le plus petit facteur premier de l'ordre de Gk (ce qui implique que Gk +1 est normal dans Gk, donc que G est résoluble).

Tout groupe fini super-résoluble (en) est pyramidal et tout groupe de type fini nilpotent est super-résoluble.

Sous-groupes sous-normaux[modifier | modifier le code]

Plus généralement, Zhi Wei Sun a démontré la conjecture sous la seule hypothèse que les sous-groupes Gi sont sous-normaux (en) dans G[4] (ce qui ne nécessite plus que G soit fini, et s’applique en particulier à G = ℤ), et en supposant seulement que les classes aiGi forment, au lieu d'une partition, un système « exactement couvrant », ou « uniforme », c'est-à-dire que le nombre de ces classes auxquelles un élément de G appartient est indépendant de cet élément, mais pas forcément égal à 1.

Il utilise entre autres le lemme de base suivant[5] : si G1, … , Gk sont des sous-groupes sous-normaux d'indices finis dans G, alors

\bigg[G:\bigcap_{i=1}^kG_i\bigg]\ \bigg|\ \prod_{i=1}^k[G:G_i].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Herzog–Schönheim conjecture » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) M. Herzog et J. Schönheim, « Research problem No. 9 », Can. Math. Bull., vol. 17, no 1,‎ 1974, p. 150 (lire en ligne)
  2. D'après un théorème de 1954 de Bernhard Neumann, si {a1G1, … , akGk} forme un système couvrant d'un groupe G alors le sous-système correspondant aux Gi d'indices finis aussi, comme le rappelle (en) Zhi-Wei Sun, « Exact m-covers of groups by cosets », European J. Combin., vol. 22, no 3,‎ 2001, p. 415-429 (lire en ligne).
  3. (en) Marc A. Berger, Alexander Felzenbaum et Aviezri Fraenkel, « Remark on the multiplicity of a partition of a group into cosets », Fund. Math., vol. 128,‎ 1987, p. 139-144 (lire en ligne)
  4. (en) Zhi-Wei Sun, « On the Herzog-Schönheim conjecture for uniform covers of groups », Journal of Algebra, vol. 273, no 1,‎ 2004, p. 153–175, arXiv:math/0306099
  5. Sun 2001

Voir aussi[modifier | modifier le code]

(en) M. A. Berger, A. Felzenbaum et A. S. Fraenkel, « Lattice parallelotopes and disjoint covering systems », Discrete Math., vol. 65,‎ 1987, p. 23-44 (DOI 10.1016/0012-365X(87)90208-1)