Conjecture de Bieberbach

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La conjecture de Bieberbach était une conjecture mathématique qui exprime que toute fonction entière f injective sur le disque unité et s'écrivant :

 f(z)=\sum_{n=0}^\infty {a_n z^n}

avait des coefficients satisfaisant à l'inégalité :

 |a_n| \le n|a_1|.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Cette conjecture, énoncée en 1916, a été démontrée par Louis de Branges de Bourcia en 1985.

On définit habituellement la classe S des fonctions f injectives sur le disque unité telles que a_0=0 et a_1=1. Ces fonctions sont dites schlicht. La conjecture de Bieberbach s'énonce alors sous la forme  |a_n| \le n .

Le cas particulier n = 2 a été démontré par Ludwig Bieberbach. Ce résultat est lié au théorème de l'aire, et implique le théorème du quart de Koebe (en) : pour toute fonction de S, l'image du disque unité contient le disque de centre 0 et de rayon 1/4.

Avant la démonstration générale de la conjecture de Bieberbach, on connaissait plusieurs cas particuliers, et l'inégalité de Littlewood

 |a_n| \le{\rm e}n|a_1|.

Louis de Branges démontra en fait plus que la conjecture de Bieberbach : celle de Milin (en) (1971), qui l'impliquait.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]