Conjecture d'Euler

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La conjecture d'Euler est une conjecture mathématique de théorie des nombres, réfutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1772[1],[2], et qui s'énonce de la façon suivante :

Pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de n – 1 puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième.

En d'autres termes, et de manière plus formelle :

\forall n > 2, \forall (a_1, \dots, a_{n-1},b) \in(\N^*)^n,\sum_{k=1}^{n-1} {a_k}^n \ne b^n.

Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la conjecture de Fermat, à savoir que pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de deux puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième. Les deux énoncés coïncident pour n = 3. Euler ajouta[1] que « exactement comme il n'existe pas de cubes dont la somme ou la différence soit un cube, il est certain qu'il est impossible de trouver trois puissances quatrièmes dont la somme soit une puissance quatrième, mais qu'au moins quatre puissances quatrièmes sont nécessaires pour que la somme soit une puissance quatrième, bien que personne n'ait été capable jusqu'à présent de produire ces quatre puissances. De la même façon, il semblerait impossible de trouver quatre puissances cinquièmes dont la somme soit une puissance cinquième, et de même pour les puissances supérieures. »

La conjecture d'Euler fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966[3] grâce au contre-exemple suivant :

27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.

En 1988, Noam Elkies trouva même une méthode[4] pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :

2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4.

Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :

95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4.

Aucun contre-exemple pour n > 5 n'est actuellement connu.

Conjecture voisine[modifier | modifier le code]

En 1967, Lander, Parkin et Selfridge (en) ont conjecturé[5],[2] que si u, v ≥ 1 et n > u + v, il n'existe pas d'entiers strictement positifs ai ≠ bj tels que

\sum_{i=1}^ua_i^n=\sum_{j=1}^vb_j^n.

Cela impliquerait en particulier que

\forall n\ge4,\forall u\in\{2,\ldots,n-2\},\forall(a_1,\dots,a_u,b)\in(\N^*)^{u+1},\sum_{k=1}^u{a_k}^n\ne b^n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Euler's sum of powers conjecture » (voir la liste des auteurs)

  1. a et b (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 2, p. 648, citant E716 (1778). Dickson mentionne aussi (note 165) E428 (1772) et (note 167) E776 (1780)
  2. a et b Cf. (en) EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers et son lien vers une page détaillée.
  3. (en) L. J. Lander et T. R. Parkin, « Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 72,‎ 1966, p. 1079 (lire en ligne)
  4. (en) Noam Elkies, « On A4 + B4 + C4 = D4 », Math. Comp. (en), vol. 51, no 184,‎ 1988, p. 825-835 (lien DOI?)
  5. (en) L. J. Lander, T. R. Parkin et J. L. Selfridge, « A survey of equal sums of like powers », Math. Comp., vol. 21,‎ 1967, p. 446-459 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]