Conjecture d'Erdős sur les progressions arithmétiques

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En mathématiques, plus précisément en combinatoire additive, la conjecture d’Erdős sur les progressions arithmétiques peut s’énoncer de la manière suivante.

Soit (x_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite d’entiers strictement positifs ; si la série \sum_{n\geq 0} \frac{1}{x_n} diverge, alors pour tout entier positif N, on peut extraire de (x_n)_{n\in\mathbb{N}} une suite arithmétique de longueur N.

Elle généralise la conjecture d'Erdős-Turán qui, elle, a été résolue (par le théorème de Szemerédi).

Erdős a proposé un prix de 3 000 USD à qui prouvera cette conjecture[1].

Le théorème de Green-Tao sur les suites arithmétiques de nombres premiers est un cas particulier de cette conjecture.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • P. Erdős, « Résultats et problèmes en théorie de nombres », Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des nombres), no 2., Exp. N° 24 (7 p.),‎ 14e année : 1972/1973 (lire en ligne)
  • (en) P. Erdős, « Problems in number theory and combinatorics », dans Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., coll. « Congress Numer. » (no 18),‎ 1977, p. 35-58
  • (en) P. Erdős, « On the combinatorial problems which I would most like to see solved », Combinatorica, vol. 1,‎ 1981, p. 25-42 (DOI 10.1007/BF02579174)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Béla Bollobás, « To Prove and Conjecture: Paul Erdős and His Mathematics », Amer. Math. Month., vol. 105, no 3,‎ mars 1988, p. 233.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős conjecture on arithmetic progressions » (voir la liste des auteurs)