Conjecture d'Agoh-Giuga

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En théorie des nombres, la conjecture d'Agoh-Giuga sur les nombres de Bernoulli B_k\, énonce qu'un entier p est un nombre premier si, et seulement si :

pB_{p-1} \equiv -1 \pmod p\,.

(La notation a \equiv b \pmod{p}\, signifie que p divise le numérateur de a-b mais pas le dénominateur de a-b.)

La condition de la conjecture est nécessaire car on sait, d'après le Théorème de von Staudt-Clausen, que pB_{2m} \equiv -1 \pmod p\, pour tout nombre premier p tel que p-1 divise 2m et que 2B_{1} \equiv -1 \pmod 2\,.

La conjecture ainsi énoncée est due à Takashi Agoh. Une formulation équivalente due à Giuseppe Giuga est qu'un nombre p est premier si, et seulement si :

1^{p-1}+2^{p-1}+ \cdots +(p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod p\qquad(1).

Voir l'article nombres de Giuga. L'équivalence entre les deux formulations est démontrée par Agoh[1].

Dans la formulation de Giuga, une implication se déduit du petit théorème de Fermat. En effet, selon celui-ci, si p est un nombre premier, alors pour tout entier a entre 1 et p-1, la puissance p-1e de a est congrue à 1 modulo p. La congruence (1) s'obtient en sommant ces relations. Par ailleurs, il est montré que tout nombre composé vérifiant la congruence (1) est un nombre de Carmichaël[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Proposition 5 de l'article d'Agoh.
  2. Proposition 4 de l'article d'Agoh.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) T. Agoh, « On Giuga’s conjecture » dans Manuscripta Math. 87(4) (1995), 501-10.
  • (it) G. Giuga,« Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi » dans I° Lombardo Sci. Lett. Rend. A, 83 (1950), 511-528.