Conduction thermique

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La conduction thermique (ou diffusion thermique) est un mode de transfert thermique provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu, ou entre deux milieux en contact, et se réalisant sans déplacement global de matière[1] (à l'échelle macroscopique) par opposition à la convection qui est un autre transfert thermique. Elle peut s'interpréter comme la transmission de proche en proche de l'agitation thermique : un atome (ou une molécule) cède une partie de son énergie cinétique à l'atome voisin.

La conduction thermique est un phénomène de transport de l'énergie interne dû à une hétérogénéité de l'agitation moléculaire[2]. C'est donc un phénomène irréversible. Dans les fluides (liquides et gaz) ce transport d'énergie résulte de la non uniformité du nombre de chocs par unité de volume, de façon analogue au phénomène de diffusion[2]. Dans les solides, la conduction thermique est assurée conjointement par les électrons de conduction et les vibrations du réseau cristallin (phonons)[3].

Généralités[modifier | modifier le code]

Loi de Fourier[modifier | modifier le code]

La conduction thermique est un transfert thermique spontané d'une région de température élevée vers une région de température plus basse, et est décrite par la loi dite de Fourier établie mathématiquement par Jean-Baptiste Biot en 1804 puis expérimentalement par Fourier en 1822[4] : la densité de flux de chaleur est proportionnelle au gradient de température.

\overrightarrow{\varphi}= - \lambda\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T)

La constante de proportionnalité λ est nommée conductivité thermique du matériau. Elle est toujours positive. Avec les unités du système international, la conductivité thermique λ s'exprime en watt par mètre-kelvin (W·m-1·K-1). La densité de flux de chaleur \overrightarrow{\varphi} s'exprime en watt par mètre carré (W·m-2), la température T, en kelvin (K).

La loi de Fourier est une loi semi-empirique analogue à la loi de Fick pour la diffusion de particule ou la loi d'Ohm pour la conduction électrique (Ohm s'est d'ailleurs servi d'une analogie entre thermique et électricité pour construire sa théorie). Ces trois lois peuvent s'interpréter de la même façon : l'inhomogénéité d'un paramètre intensif (température, nombre de particules par unité de volume, potentiel électrique) provoque un phénomène de transport tendant à combler le déséquilibre (flux thermique, courant de diffusion, courant électrique).

Équation de la chaleur[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Équation de la chaleur.

Un bilan d'énergie, et l'expression de la loi de Fourier conduit à l'équation générale de conduction de la chaleur dans un corps homogène : \lambda \Delta T + P = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t} où :

  • \lambda est la conductivité thermique du matériau en W.m-1.K-1.
  • \Delta T désigne le laplacien de la température,
  • P est l'énergie produite au sein même du matériau en W.m-3. Elle est souvent nulle (cas des dépôts de chaleur en surface de murs, par exemple), mais l'on peut citer de nombreux cas où elle ne l'est pas ; citons parmi d'autres l'étude du transfert thermique par conduction au sein du combustible nucléaire, ou l'absorption de la lumière ou des micro-ondes au sein des matériaux semi-transparents...,
  • ρ est la masse volumique du matériau en kg.m-3,
  • et c est la chaleur spécifique massique du matériau en J.kg-1.K-1.

(établissement de l'équation de conduction de la chaleur)

Sous forme unidimensionnelle et dans le cas où P est nulle, on obtient : \lambda\, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \rho\,c\,\frac{\partial T}{\partial t}

En régime stationnaire, lorsque la température n'évolue plus avec le temps et si P est nul, elle se réduit à : \Delta T = 0

qui est une équation de Laplace. T est alors une fonction harmonique.

Dans le cas d'un régime permanent et unidimensionnel, l'équation précédente se réduit à : \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 0

dont la solution est : T = A x + B

où A et B sont des constantes à fixer selon les conditions aux limites.

Conduction en régime stationnaire[modifier | modifier le code]

On définit un régime permanent (ou stationnaire) quand les températures ne dépendent pas du temps. La température ne dépend plus que de la disposition du point où l'on effectue la mesure et plus du temps. Pour toute la suite de ce chapitre, nous supposerons un régime permanent établi.

Surface plane simple[modifier | modifier le code]

Le matériau est un milieu thermiquement conducteur limité par deux plans parallèles (cas d'un mur). Chaque plan a une température T homogène sur toute sa surface. On considère que les plans ont des dimensions infinies pour s'affranchir des effets de bords. En conséquence le flux entrant est égal au flux sortant, il n'y a pas de pertes de chaleur sur les bords.

Profil de température dans un mur.

Notons T_1 la température du plan situé à l'abscisse x_1, et T_2 la température du plan situé à l'abscisse x_2. Notons e = x_2 - x_1 l'épaisseur du mur. En régime stationnaire, T est une fonction affine de x, d'où :

T = T_1 + \frac{x-x_1}{e}(T_2 - T_1)

La densité de flux thermique surfacique s'écrit :

\varphi= -\lambda \frac{dT}{dx} = \frac{\lambda}{e} (T_1-T_2).


Le flux thermique à travers une surface S vaut :

\Phi = \frac{\lambda S}{e} (T_1-T_2)

ou

\Phi = \frac{(T_1-T_2)}{\frac{e}{\lambda S}}
Analogie.

Analogie électrique

Par analogie avec l'électricité (loi d'Ohm) dans le cas particulier où la surface de contact entre chaque matériau est constante (flux surfacique \varphi constant) nous pouvons mettre en parallèle les deux expressions :

U_1-U_2= RI\,
T_1-T_2= \frac{e}{\lambda S} \Phi\,

Nous pouvons mettre en parallèle d'une part la tension et la température, d'autre part l'intensité et le flux thermique :

U_1-U_2 \leftrightarrow T_1-T_2,
 I \leftrightarrow \Phi,

On peut définir alors une résistance thermique, jouant dans le transfert de chaleur un rôle comparable à la résistance électrique.

 R \leftrightarrow R_{thc}= \frac{e}{\lambda S}\,

S est la surface du matériau et  e son épaisseur. La résistance thermique R_{thc} est homogène à des K.W-1

Surfaces planes en série[modifier | modifier le code]

Mur serie generalite.png

On considère des matériaux A B et C d'épaisseur respective e_{A}, e_{B} et e_{C} et de conductivité radiative respective \lambda_{A}, \lambda_{B} et \lambda_{C}.

Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. On considère que le contact entre chaque couche est parfait ce qui signifie que la température à l'interface entre 2 matériaux est identique dans chaque matériau (Pas de saut de température au passage d'une interface).

Enfin la surface de contact entre chaque matériau est constante ce qui implique un flux surfacique \varphi constant.

Les résistances thermiques s'additionnent :

T_1- T_4= (\frac{e_A}{\lambda_A S}+ \frac{e_B}{\lambda_B S}+ \frac{e_C}{\lambda_C S}) \Phi\ = (R_{thA}+ R_{thB}+ R_{thC}) \Phi

Le profil des températures
Pour chaque matériau la variation de température suit une loi du type :

T= T_1- \frac{e_X}{\lambda_X S}\Phi\,

La variation de température est donc linéaire dans l'épaisseur du matériau considéré. La pente dépend de λ (conductivité thermique) caractéristique de chaque matériau. Plus la conductivité thermique sera faible (donc plus le matériau sera isolant) plus la pente sera forte.

Mur serie gradient.png

Analogie électrique
De la même manière que les résistances électriques en série s'additionnent, les résistances thermiques en série s'additionnent.

Mur serie analogie elec.png

Surfaces planes en parallèle[modifier | modifier le code]

Mur parrallele.png

On considère des matériaux plans juxtaposés. Chaque matériau est homogène et limité par deux plans parallèles. C'est par exemple le cas d'un mur avec une fenêtre. Les hypothèses sont identiques à celles d'une surface plane simple. En supplément, on considère que la température est uniforme en surface de chaque élément (T1 et T2). Soit SA, SB et SC les surfaces respectives des éléments A, B et C.

Par la suite, on fait l'hypothèse que le flux est toujours perpendiculaire à la paroi composée ; ceci n'est pas réaliste puisque la température de surface de chaque élément qui la composent est différente et qu'il existe par conséquent un gradient de température latéral (à l'origine des ponts thermiques). Aussi, il est nécessaire de corriger le flux de chaleur calculé dans la paroi composée à l'aide de coefficients de déperdition linéiques, spécifiques à chaque jonction de paroi (et pouvant être négligeables, cf. règlementation thermique TH 2000)

Les conductances thermiques s'additionnent :

C_{th}= \frac{1}{R_{th}} = \frac{1}{\frac{e_A}{\lambda_A S_A}}+\frac{1}{\frac{e_B}{\lambda_B S_B}}+\frac{1}{\frac{e_C}{\lambda_C S_C}} = \frac{1}{R_{thA}} + \frac{1}{R_{thB}} + \frac{1}{R_{thC}}

Analogie électrique

Il est donc également possible de faire une analogie entre un montage électrique de résistances en parallèle.

Mur parrallele analogie elec.png
Mur parrallele analogie elec 2.png
I = (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}+ \frac{1}{R_3}) \Delta U\, \Phi = (\frac{1}{R_{th1}}+ \frac{1}{R_{th2}}+ \frac{1}{R_{th3}}) \Delta T\,

Surface cylindrique simple[modifier | modifier le code]

Tube simple.png

Le tube simple est constitué d'un seul matériau homogène. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube a une longueur infinie afin de s'affranchir des effets de bord. La variation de température s'écrit :

\ T_1-T_2= \frac{\Phi}{2 \pi \lambda L } \ln \frac{R_2}{R_1}

Surfaces cylindriques concentriques[modifier | modifier le code]

Schéma d'un tube concentrique.

Le tube concentrique est constitué de tubes disposés en couches concentriques. On considère que le contact est parfait entre les tubes. La température est homogène sur chaque surface du tube. On considère que le tube à une longueur L infinie afin de s'affranchir des effets de bord.

La résistance totale du tube s'exprime suivant une loi de type « série » comme le mur composé série :

\ R_{thT}= R_{thA} + R_{thB}

Conduction en régime dynamique[modifier | modifier le code]

La résolution de l'équation de la chaleur en régime dynamique est beaucoup plus délicate. Elle fait appel aux notions de transformées de Fourier, de produit de convolution et de distributions. Nous donnons quelques exemples de résolution.

Cas d'un domaine illimité[modifier | modifier le code]

Principe général[modifier | modifier le code]

Ecrivons l'équation de la chaleur sous la forme :

\frac{\partial T}{\partial t} - D \Delta T = P

où D est le coefficient de diffusivité thermique et P représente des sources de chaleur. P peut être une fonction du temps et de la position de la source de chaleur, mais aussi une distribution. Par exemple, l'injection instantanée et ponctuelle d'une quantité de chaleur peut se représenter par le produit \delta(t)\delta(x) d'une distribution de Dirac à l'instant t = 0 par une distribution de Dirac en x = 0, x étant l'abscisse dans le cas d'un problème unidimensionnel ou le vecteur position dans le cas général.

On se donne également l'état initial du domaine T_0 = T(0,x), qui peut être également une fonction de x ou une distribution. On considère que T est nulle pour t < 0.

La méthode de résolution consiste à[5],[6] :

  • Appliquer une transformée de Fourier relative à la variable x, à tous les termes de l'équation différentielle. Cela transforme la dérivation par rapport à x par un produit. Si on prend F(T)(p, t) = \int T(x, t) \exp(-2i\pi px) dx, alors l'équation devient :
\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\pi^2p^2F(T) = F(P)

où plutôt, au sens des distributions :

\frac{\partial F(T)}{\partial t} + D 4\pi^2p^2F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)

pour tenir compte de la condition initiale.

(\frac{\partial \delta(t)}{\partial t} + 4\pi^2Dp^2 \delta(t)) * F(T) = F(P) + F(T_0)\delta(t)

L'opérateur qu'on applique à F est un produit de convolution relatif à la variable t.

  • Appliquer la réciproque de l'opérateur dont on montre qu'il vaut H(t) \exp(- 4\pi^2Dp^2t), où H est la fonction de Heaviside, pour aboutir à :
F(T) = F(P) * H(t)\exp(- 4\pi^2Dp^2t) + F(T_0)H(t)\exp(- 4\pi^2Dp^2t)

Si F(P) est une fonction et non une distribution, cette relation devient, pour t > 0 :

F(T) = \int_0^t F(P)(\tau)\exp(- 4\pi^2Dp^2(t-\tau)) d\tau + F(T_0)\exp(- 4\pi^2Dp^2t)
  • Prendre la transformée de Fourier inverse pour en déduire T.

Cas particulier[modifier | modifier le code]

Propagation par conduction dans le plan à partir d'un point chaud. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Si on prend T_0 = 0 et P = \delta(t)\delta(x) (injection instantanée de chaleur en un point donné), la méthode décrite ci-dessus conduit à :

	F(P) = \delta(t)

donc, pour t > 0 :

F(T) = \exp(- 4\pi^2Dp^2t)

dont la transformée de Fourier inverse est, pour t > 0 :

 T = \frac{\exp(- \frac{x^2}{4Dt})}{2\sqrt{\pi tD}} dans le cas unidimensionnel.
 T = \frac{\exp(- \frac{r^2}{4Dt})}{8\sqrt{\pi tD}^3} dans le cas tridimensionnel.

Domaine illimité sans source de chaleur[modifier | modifier le code]

Si on se donne seulement la température initiale T_0 du milieu sans source de chaleur (P = 0), alors on trouve que :

T = \frac{1}{2\sqrt{\pi tD}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(- \frac{(x - u)^2}{4tD}) T_0(u)\, du dans le cas unidimensionnel.
T = \frac{1}{8\sqrt{\pi tD}^3} \int_{\mathbb R^3} \exp(- \frac{(r - s)^2}{4tD}) T_0(r)\, dx_s dy_s dz_s dans le cas tridimensionnel.

Cas de domaines limités, sans source de chaleur[modifier | modifier le code]

Cas d'un domaine limité par un plan. Le problème de Kelvin[modifier | modifier le code]

Problème de Kelvin. L'axe des x est orienté vers la droite. Le demi-espace x>0, dont la température initiale est T0, possède une frontière x=0 dont la température est constamment nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Supposons le domaine limité par le plan x=0. Si on se donne pour condition aux limites supplémentaire T(0,t) = 0 pour tout t, alors, il suffit de prolonger la répartition initiale de température T_0 par une fonction impaire en x et d'appliquer le résultat précédent.

Le cas le plus célèbre est celui du problème de Kelvin. Ce dernier a considéré dans les années 1860 que la Terre était initialement à une température constante T_0 de l'ordre de 3000° et qu'elle s'est refroidie par simple conduction. Utilisant la valeur actuelle du gradient de température en fonction de la profondeur, il en a déduit une estimation de l'âge de la Terre. On peut appliquer la méthode de résolution précédente en considérant la Terre comme plate et infiniment profonde, limitée par le plan de sa surface. Le calcul conduit à :

T= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}} \int_0^x \exp(- \frac{u^2}{4tD})\, du = T_0 \,{\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})

où erf est dite fonction d'erreur de Gauss.

Le gradient de température à la surface est :

\frac{\partial T}{\partial x}= \frac{T_0}{\sqrt{\pi t D}}

Connaissant \frac{\partial T}{\partial x} de l'ordre de 3 °C pour 100 mètres de profondeur et D estimé à 10-6 m2s-1, on trouve que t vaut 100 millions d'années. Ce résultat est largement sous-estimé car Kelvin ignorait les phénomènes de convection au sein du manteau terrestre[7],[8],[9].

Cas d'un domaine limité par deux plans parallèles[modifier | modifier le code]

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < x < L. Les deux frontières du domaine sont maintenues à température constante. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. Supposons qu'on se donne comme conditions aux limites T(0,t) = T(L,t) = 0. On utilise une méthode de résolution basée sur les séries de Fourier, en cherchant T sous la forme :

T = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(n\pi \frac{x}{L}) \exp(- \frac{Dn^2\pi^2t}{L^2})

Cette expression vérifie à la fois l'équation de la chaleur et les conditions aux limites. Si on se donne la répartition de température initiale T_0, il suffit de développer celle-ci en série de Fourier pour déterminer les b_n.

Par exemple, si on prend T_0 constant, on obtient :

T = \frac{4T_0}{\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{D(2n+1)^2\pi^2t}{L^2})

En faisant tendre L vers l'infini, on retrouve la solution de Kelvin du paragraphe précédent, la somme précédente étant considérée comme une somme de Riemann convergeant vers l'intégrale.

Cas d'un domaine à géométrie sphérique[modifier | modifier le code]

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine circulaire. Problème de Kelvin : la température initiale est uniforme, la température sur le cercle frontière est maintenue nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point

Dans le cas où la propagation se fait dans un domaine sphérique, et où la température ne dépend que de la distance r au centre, l'équation de la chaleur devient, compte tenu de l'expression du laplacien en sphérique :

\frac{\partial T}{\partial t} = D(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^2 T}{\partial r^2})

Si on pose F = rT, l'équation devient :

\frac{\partial F}{\partial t} = D \frac{\partial^2 F}{\partial r^2}

On peut alors appliquer les méthodes précédentes pour déterminer F, puis en déduire T en divisant par r.

Ainsi, la résolution du problème de Kelvin dans le cas d'une boule de rayon R (température initiale uniformément égale à T_0, la surface étant maintenue à une température nulle) conduit à l'expression suivante de T :

T(r,t) = 2T_0 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \, {\rm sinc}(n\pi \frac{r}{R}) \exp(- \frac{Dn^2\pi^2t}{R^2})

où sinc est la fonction sinus cardinal.

Cas de domaines limités, avec source de chaleur[modifier | modifier le code]

On considère l'équation :

\frac{\partial T}{\partial t} - D \Delta T = P

avec P non nul. On cherche en général une solution particulière à cette équation, de façon à ce que, une fois retranchée à T, on puisse se ramener à une équation sans second membre. Voici quelques exemples, dans le cas où P représente une densité de source de chaleur constante, indépendante de la position et du temps.

Domaine limité par deux plans parallèles[modifier | modifier le code]

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine limité 0 < x < L. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que les deux bords restent à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.

Considérons un domaine limité par les deux plans x=0 et x=L. On suppose qu'à l'instant initial, la température du domaine est égale à une température de référence nulle, et que les bords du domaine resteront en permanence à cette température nulle. T vérifie donc :

\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = P
T(0,t) = T(L,t) = 0 pour tout t positif.
T(x,0) = 0 pour tout x entre 0 et L.

La fonction \frac{Px(L-x)}{2D} indépendante de t vérifie les deux premières relations, de sorte que, si on pose G = T - \frac{Px(L-x)}{2D}, alors G vérifie :

\frac{\partial G}{\partial t} - D \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} = 0
G(0, t) = G(L, t) = 0
G(x, 0) = - \frac{Px(L-x)}{2D}

On peut appliquer la méthode vue plus haut en cherchant G sous la forme d'une série :

G = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(\frac{n\pi x}{L}) \exp(- \frac{n^2\pi^2Dt}{L^2})

qui vérifie les deux premières relations. Comme, pour des raisons de symétrie, on s'attend à ce que G(x) = G(L-x), on peut supposer que les coefficients b_n sont nuls lorsque n est pair, de sorte que :

G = \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{(2n+1)^2\pi^2Dt}{L^2})

Pour t = 0, on a :

- \frac{Px(L-x)}{2D} = \sum_{n=0}^\infty b_{2n+1} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L})

On trouve les b_{2n+1} en développant - \frac{Px(L-x)}{2D} en série de Fourier. On trouve :

b_{2n+1} = - \frac{4PL^2}{(2n+1)^3\pi^3D}

D'où G, puis finalement :

T = \frac{Px(L-x)}{2D} - \frac{4PL^2}{D\pi^3} \sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{(2n+1)^3} \sin(\frac{(2n+1)\pi x}{L}) \exp(- \frac{(2n+1)^2\pi^2Dt}{L^2})

Lorsque t tend vers l'infini, la température du domaine tend vers \frac{Px(L-x)}{2D}, l'échauffement thermique dans le milieu étant alors en équilibre avec l'évacuation de la chaleur par les deux bords.

Domaine limité par un plan[modifier | modifier le code]

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine x > 0 limité par un bord. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.

La résolution du même problème dans le cas où x>0 consiste à déterminer T tel que  :

\frac{\partial T}{\partial t} - D \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = P
T(0,t) = 0 pour tout t positif.
T(x,0) = 0 pour tout x > 0.

On peut obtenir la solution en faisant tendre L vers l'infini dans l'expression donnée dans le paragraphe précédent, en assimilant la série à une somme de Riemann. On obtient alors l'expression suivante :

T = - \frac{Px^2}{2D} + \frac{Px^2}{2D} \,{\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}}) + \frac{Px\sqrt{t}}{\sqrt{D\pi}} \exp(- \frac{x^2}{4Dt}) + Pt \, {\rm erf}(\frac{x}{2\sqrt{Dt}})

erf est la fonction dite fonction d'erreur de Gauss. On peut également trouver cette expression en appliquant la méthode découlant du principe général relatif à un domaine illimité, après avoir étendu à l'espace entier les fonctions T et P en des fonctions impaires en x, de façon à ce que T s'annule en x = 0.

Quand t tend vers l'infini, T vaut environ Pt, analogue à celle d'un domaine infini. Le bord unique n'est pas suffisant pour évacuer la chaleur.

Domaine à géométrie sphérique[modifier | modifier le code]

Propagation de la chaleur par conduction dans un domaine à bord circulaire. Le domaine est chauffé uniformément, alors que la température initiale est nulle, et que le bord reste à cette température nulle. La hauteur en un point donné indique la valeur de la température en ce point.

Dans le cas d'un domaine dont le bord est une sphère de rayon R, on utilise l'expression du laplacien en sphérique et on est amené à résoudre :

\frac{\partial T}{\partial t} = D\left(\frac{2}{r} \frac{\partial T}{\partial r} + \frac{\partial^2 T}{\partial r^2}\right) + P
Pour tout t, T(R,t) = 0
Pour tout r, T(r,0) = 0

En posant G = rT + \frac{r^3P - rR^2P}{6D}, G vérifie le système :

\frac{\partial G}{\partial t} = D\frac{\partial^2 G}{\partial r^2}
Pour tout t, G(R,t) = 0
Pour tout r, G(r,0) = \frac{r^3P - rR^2P}{6D}

La méthode des séries de Fourier suggère de chercher G sous la forme d'une série \sum_{n=1}^\infty b_n \sin(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2}), où les b_n sont trouvés en développant \frac{r^3P - rR^2P}{6D} en série de Fourier. On obtient :

G = \frac{2P R^3}{D\pi^3} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3} \sin(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2})

et donc :

T = \frac{R^2P - r^2P}{6D} + \frac{2P R^2}{D\pi^2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} {\rm sinc}(\frac{n\pi r}{R}) \exp(- \frac{n^2\pi^2 Dt}{R^2})

où sinc est la fonction sinus cardinal.

Quand t tend vers l'infini, la température T tend vers la répartition limite \frac{R^2P - r^2P}{6D}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pérez, page 153.
  2. a et b Pérez, page 158
  3. Pérez, page 160.
  4. Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, Paris,‎ 1822 [détail de l’édition] http://books.google.fr/books?id=TDQJAAAAIAAJ&hl=fr http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/claude_saintblanquet/index.htm http://www.ryounes.net/cours/conduction.pdf http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1897_3_14_/ASENS_1897_3_14__379_0/ASENS_1897_3_14__379_0.pdf http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/MECAVENIR/cours4_eqchal_loc.pdf http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/MECAVENIR/ http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/MECAVENIR/cours6_eqchal_resol.pdf
  5. L. Landau, E. Lifchitz, Physique théorique, mécanique des fluides, Mir-Ellipses, (1994)
  6. Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, (1965)
  7. La convection apportant des matériaux chauds à proximité de la surface, le gradient de température au voisinage de celle-ci au bout d'un temps donné est plus élevé dans le cas de la convection que dans celui de la conduction. Par conséquent, la durée de refroidissement conduisant à un gradient donné sera estimée plus courte dans le cas de la conduction que dans celui de la convection. Voir England P, Molnar P, Richter F, Kelvin, Perry et l'âge de la terre, Pour la Science, février 2008, p.32-37, traduit d'un article d'American Scientist. Une deuxième source d'erreur, plus marginale, provient du fait que Kelvin néglige également le terme de source d'énergie dû à la radioactivité.
  8. Jean-Louis Le Mouël, Le refroidissement de la Terre, 196ème conférence de l’Université de tous les savoirs, 14 juillet 2000, [1] ou [2]
  9. John Perry, On the age of earth, 51, Nature (7 février 1895), 341-342

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]