Composantes d'un vecteur

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En algèbre linéaire, les composantes d'un vecteur sont une représentation explicite d'un vecteur d'un espace vectoriel par une famille de nombres, ou par un élément de l'espace vectoriel K^n, K étant un corps commutatif.

Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres (n-uplets, matrices, vecteurs colonnes) qui peuvent être effectués explicitement.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif K et soit  \mathcal{B} = \left( b_1, b_2, \ldots, b_n \right) une base de E.

Alors pour tout vecteur v de E, il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à v:

 v = \alpha _1 b_1 + \alpha _2 b_2 + \cdots + \alpha _n b_n

D'après l'une des propriétés des bases, les scalaires \alpha_ii\in \{1, \ldots, n\} sont déterminés de façon unique par v et \mathcal{B}.

Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de v dans la base \mathcal{B} ou relativement à la base \mathcal{B}, sont par définition la famille \left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right). Les composantes peuvent aussi être représentées en colonne sous forme d'une matrice:

\begin{pmatrix} \alpha _1 \\ \vdots \\ \alpha _n \end{pmatrix}. .

La matrice est appelée matrice colonne des composantes (ou des coordonnées) ou vecteur colonne des composantes de v.

Cette matrice est parfois notée M_{\mathcal{B}}(v), Mat_{\mathcal{B}}(v) ou encore [v]_{\mathcal{B}}.

Pour i\in\{1,\ldots,n\}, le scalaire \alpha_i est appelé la ième composante ou ième coordonnée du vecteur v.

Application composantes[modifier | modifier le code]

Considérons E étant un espace vectoriel sur un corps commutatif K, muni d'une base \mathcal{B}=\left( b_1, b_2, \ldots, b_n \right).

Le mécanisme précédent qui fait correspondre à un vecteur ses composantes peut être décrit par l'application \varphi_{\mathcal{B}} qui à un vecteur v de E associe ses composantes dans la base \mathcal{B} et définie par:

\forall v\in E, \varphi_{\mathcal{B}}(v)=\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right),

\alpha_1, \ldots, \alpha_n appartiennent à K et vérifient v=\alpha_1.b_1+\cdots+\alpha_n.b_n.

Alors \varphi_{\mathcal{B}} est une application linéaire de E dans K^n.

En fait cette application est un isomorphisme, et sa réciproque \varphi_{\mathcal{B}}^{-1}:K^n\to E est définie par

\forall (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in K^n, \varphi_{\mathcal{B}}^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=\alpha_1 b_1+\cdots+\alpha_n b_n.

Il est aussi possible de commencer par définir \varphi_{\mathcal{B}}^{-1} l'application réciproque de l'application du début, de constater que \varphi_{\mathcal{B}}^{-1} est un isomorphisme, puis de définir \varphi_{\mathcal{B}} comme son application réciproque.

Remarque: Même si cette application permet d'identifier un vecteur de E à ses composantes, il est hors de question de confondre les deux, puisque les coordonnées d'un vecteur dépendent en général de la base choisie.

Exemples[modifier | modifier le code]

Exemple 1[modifier | modifier le code]

Soit \mathbb{R}_3[x] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur à 4 (c'est-à-dire dont la plus grande puissance de x est 4). Cet espace est engendré par la partie suivante:

\{  1,  x,  x^2,  x^3 \}

et la famille \mathcal{B}=(1,  x,  x^2,  x^3) est une base de cet espace.

La matrice colonne des composantes dans cette base du polynôme

 p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3

s'écrit  \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} .

Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} que nous noterons D qui à p associe Dp=p' est représenté par la matrice suivante:

Mat_{\mathcal{B}}(D) = 
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}

En utilisant cette représentation il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur: comme l'inversibilité, s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre ses valeurs propres etc.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Les matrices de Pauli représentent l'opérateur spin lorsque les vecteurs propres correspondant à l'état de spin sont transformés en coordonnées.