Compactifié d'Alexandrov

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En mathématiques, et plus précisément en topologie générale, le compactifié d'Alexandrov (parfois écrit compactifié d'Alexandroff) est un objet introduit par le mathématicien Pavel Aleksandrov ; sa construction, appelée compactification d'Alexandrov, généralise celle de la sphère de Riemann à des espaces localement compacts quelconques auxquels elle revient à ajouter un « point à l'infini ».

Définition[modifier | modifier le code]

Soit X\,\! un espace topologique localement compact. On peut, en ajoutant un point à X\,\!, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère \tilde{X} = X \cup \{\omega\}\omega \not\in X, et on définit une topologie de la manière suivante.

L'ensemble des ouverts de \tilde{X} est constitué par :

On vérifie que l'on définit bien ainsi une topologie sur \tilde X, et que la topologie initiale sur X\,\! est identique à la topologie induite sur X\,\! par cette topologie sur \tilde X.

On vérifie enfin que \tilde X muni de cette topologie est un espace compact.

L'espace \tilde X s'appelle alors le compactifié d'Alexandrov de l'espace localement compact X\,\! ; \omega\,\! s'appelle le point à l'infini de \tilde X et se note également \infty.

Cette notion ne présente d'intérêt que si l'espace de départ n'est pas compact. En effet, appliquer le procédé de compactification d'Alexandrov à un espace compact ne fait que lui ajouter un point isolé (car \{\omega\} est alors un ouvert de \tilde X).

Unicité[modifier | modifier le code]

On montre facilement que partant d'un espace topologique localement compact X et d'un point donné \omega \not\in X, le compactifié d'Alexandrov construit comme ci-dessus sur \tilde{X} = X \cup \{\omega\} est l'unique topologie possible sur \tilde{X} telle que:

  • \tilde{X} soit compact ;
  • la topologie induite sur X soit identique à la topologie de départ.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le compactifié d'Alexandrov de ℝn est homéomorphe à la n-sphère, à travers, en particulier, la projection stéréographique depuis un des pôles P de la n-sphère, projection complétée par P \mapsto \omega. Ainsi, le compactifié d'Alexandrov de ℝ est homéomorphe à un cercle, celui de ℝ2 (ou ℂ) à une sphère, appelée communément sphère de Riemann. Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point « à l'infini » : à l'infini la droite réelle se « referme » en un cercle.
  • Tout ordinal α = [0, α[ peut être muni de la topologie de l'ordre. Si α est un ordinal limite, le compactifié d'Alexandrov de [0, α[ est α + 1 = [0, α] (si au contraire α possède un prédécesseur β, alors [0, α[ est le compact [0, β + 1[ = [0, β]).
  • Un espace de Fort (en) est le compactifié d'Alexandrov d'un espace discret infini.

Lien externe[modifier | modifier le code]

Le compactifié d'Alexandrov sur le site les-mathematiques.net