Cohomologie des faisceaux

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Les groupes de cohomologie d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines.

Formulation[modifier | modifier le code]

Les groupes de cohomologie H^k(X,\mathcal{F}) d'un faisceau de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines :

\dots\rightarrow \Gamma(X,I^{k-1})\rightarrow \Gamma(X,I^k)\rightarrow \Gamma(X,I^{k+1})\rightarrow \dots

\mathcal{F}\rightarrow I^* est une résolution injective du faisceau \mathcal F, et \Gamma(X,\mathcal{A}) désigne le groupe abélien des sections globales de \mathcal A. A unique isomorphisme canonique près, ces groupes ne dépendent pas de la résolution injective choisie.

  • Le zéroième groupe H^0(X,\mathcal{F}) est canoniquement isomorphe à \Gamma(X,\mathcal{F}).
  • \mathcal F est dit acyclique si tous ses autres groupes de cohomologie sont triviaux.
  • Tout morphisme \Phi:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{B} induit des homomorphismes de groupes abéliens canoniquement définis :
\Phi_*:H^k(X,\mathcal{A})\rightarrow H^k(X,\mathcal{B})