Coercivité

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction réelle est dite coercive si «elle tend vers l'infini à l'infini», éventuellement dans une partie spécifiée de l'ensemble de départ. Une définition analogue est utilisée pour les formes bilinéaires.

Définition[modifier | modifier le code]

Une fonction f définie sur un espace normé X à valeurs dans \bar{\R}:=\R\cup\{-\infty,+\infty\} est dite coercive sur une partie non bornée P de X si


\lim_{\| x\|\to+\infty\atop x\in P}f(x)=+\infty

ou de manière plus précise


\forall\,\nu\in\R,\quad
\exists\,\rho\geqslant0:\quad
(x\in X ~\mbox{et}~ \|x\|\geqslant\rho)
\quad\Longrightarrow\quad
f(x)\geqslant\nu.

Il revient au même de dire que les intersections avec P des ensembles de sous-niveau de la fonction sont bornées :


\forall\,\nu\in\R,\qquad\{x\in P: f(x)\leqslant\nu\}~\mbox{est borné.}

Si l'on ne spécifie pas la partie P, il est sous-entendu que P=X.


On peut aussi étendre la définition à un espace métrique, en remplaçant {\| x\|\to+\infty}\atop x\in P par {d(x,a)\to+\infty}\atop x\in Pa est fixe dans P.

Cas d'une forme bilinéaire[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Plus spécifiquement, une forme bilinéaire a:X\times X\to\R est dite coercive si elle vérifie :


\exists\,\alpha>0,\quad\forall\,x\in X:\qquad a(x,x) \geqslant \alpha\|x\|^2.

Certains auteurs préfèrent utiliser l'appellation X-elliptique pour cette dernière définition. Celle-ci intervient entre autres dans le théorème de Lax-Milgram et la théorie des opérateurs elliptiques, accessoirement dans la méthode des éléments finis.

Lien entre les définitions[modifier | modifier le code]

Dans le cas où a est une forme bilinéaire, en posant f(u)=a(u,u) on a équivalence entre la coercivité de a et celle de f. En effet, \scriptstyle\lim_{\| x\|\to\infty}f(x)=+\infty implique qu'il existe R>0 tel que \scriptstyle\|x\|\geqslant R\Rightarrow f(x)\geqslant 1. Ainsi (en utilisant la variable u),

\left(\frac{R}{\|u\|}\right)^2a(u,u)=a\left(\frac{R}{\|u\|}u,\frac{R}{\|u\|}u\right)=f\left(\frac{R}{\|u\|}u\right)\geqslant 1

et

a(u,u)\geqslant\left(\frac{\|u\|}{R}\right)^2.

On identifie dès lors : \alpha=\left(\frac{1}{R}\right)^2 qui est strictement positif.

Voir aussi[modifier | modifier le code]