Coefficient binomial

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En mathématiques, les coefficients binomiaux, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de parties de k éléments dans un ensemble de n éléments. On les note \textstyle{n \choose k} (lu « k parmi n » ) ou C_n^k\, (lu « combinaison de k parmi n »), la première notation étant préconisée par la norme ISO 31-11. Cette quantité s'exprime à l'aide de la fonction factorielle :

{n \choose k} = C_n^k\, = \frac{n!}{k!(n-k)!}.


Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme en algèbre, dénombrements, développement en série, lois de probabilités, etc.

On peut les généraliser, sous certaines conditions, aux nombres complexes.

Établissement de la formule[modifier | modifier le code]

L'expression \textstyle{n \choose k} du nombre de parties à k éléments, c'est-à-dire du nombre de k-combinaisons, dans un ensemble à n éléments se détermine en utilisant les arrangements. On calcule le nombre d'arrangements ou de listes ordonnées à k éléments pris dans l'ensemble à n éléments de deux façons différentes. La confrontation des deux calculs donne l'expression algébrique de \textstyle{n \choose k}

  • Une liste ordonnée de k éléments pris parmi n peut être constituée en choisissant le premier élément parmi n, (n choix possibles), puis le deuxième élément parmi n − 1 (n − 1 choix possibles), etc, le dernier élément étant choisi parmi nk + 1 éléments. Il existe donc  n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} listes ordonnées de k éléments pris parmi n. n! désigne la factorielle de n.
  • Mais on peut aussi choisir d'abord le sous-ensemble des k éléments parmi n (\textstyle{n \choose k} choix possibles) puis ordonner l'ensemble pour constituer une liste (k! ordres possibles). Il existe donc \textstyle{n \choose k} \times k! listes ordonnées de k éléments pris parmi n.

En confrontant ces deux expressions, on obtient l'expression de \textstyle{n \choose k}, pour k variant de 0 à n :

{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\qquad \mbox{(1)}

Si k est strictement négatif ou strictement supérieur à n, on convient que le coefficient binomial est nul.

Exemple : Dans un ensemble à 4 éléments {a,b,c,d}, il y a {4 \choose 2} = 6 parties à deux éléments, à savoir : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}.

Propriété récursive des coefficients binomiaux d'entiers [modifier | modifier le code]

Une importante relation, la formule de Pascal, lie les coefficients binomiaux :

 {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} \qquad \mbox{(2)}

Elle donne lieu au triangle de Pascal qui permet un calcul des coefficients pour de petites valeurs de n :

0: 1
1: 1 1
2: 1 2 1
3: 1 3 3 1
4: 1 4 6 4 1
5: 1 5 10 10 5 1
6: 1 6 15 20 15 6 1
7: 21 35 35 21
8: 28 56 70 56 28

Les coefficients \textstyle{n \choose k}, k \in [\![0;n]\!] figurent à la ne ligne. Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure.

Utilisation des coefficients binomiaux[modifier | modifier le code]

Développement du binôme de Newton[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule du binôme de Newton.

Ces nombres sont les coefficients qui apparaissent en développant la puissance nieme de x + y :

 (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{n \choose k} x^{n-k} y^k \qquad (3)

Par exemple, en regardant la cinquième ligne du triangle de Pascal, on obtient immédiatement que :

\ (x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5\, .

Dérivée d'ordre n d'un produit de fonctions[modifier | modifier le code]

Soient n un entier supérieur ou égal à 1, et f et g deux fonctions n fois dérivables en un point x, alors leur produit fg est aussi n fois dérivable au point x, et la dérivée d'ordre n est donnée par la formule de Leibniz :

(f g)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k}\ f^{(k)}(x)\ g^{(n-k)}(x)

Par exemple, (fg)''' = f'''g + 3f''g' + 3f'g'' + g'''f

Combinatoire et statistique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Loi binomiale.

Les coefficients binomiaux sont importants en combinatoire, parce qu'ils fournissent des formules utilisées dans des problèmes fréquents de dénombrement :

  • Le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments est égal à \textstyle{n \choose k}. C'est également le nombre de listes de longueur n, constituées de 1 et de 0, et ayant k fois l'élément 1 et n-k l'élément 0. Ces parties ou ces listes sont appelées des k-combinaisons sans répétition.
  • Le nombre de suites de n entiers naturels dont la somme vaut k est égale à \textstyle{n+k-1 \choose k}. C'est aussi le nombre de façons de choisir k éléments d'un ensemble à n éléments si les répétitions sont permises (nombre de combinaisons avec répétition).
  • En théorie des probabilités et en statistique, les coefficients de binôme apparaissent dans la définition de la loi binomiale.
  • Ils interviennent dans la définition des polynômes de Bernstein et dans l'équation paramétrique d'une courbe de Bézier.
  • D'un point de vue plus intuitif, ce nombre permet de savoir combien de tirages de k éléments parmi n différents on peut réaliser. Exemple: les quatre as d'un jeu de cartes sont face contre table, on veut savoir combien de possibilités de jeu il existe si l'on prend simultanément deux cartes au hasard. Si l'on suit la formule il y en a six.
    Pour s'en persuader, voici la liste des mains :
    1. as de cœur et as de carreau
    2. as de cœur et as de trèfle
    3. as de cœur et as de pique
    4. as de carreau et as de trèfle
    5. as de carreau et as de pique
    6. as de trèfle et as de pique
Il n'existe pas d'autres possibilités vu que l'ordre n'importe pas (« carreau - pique » est équivalent à « pique - carreau »).

Diviseurs et coefficients binomiaux[modifier | modifier le code]

  • Un entier n ≥ 2 est premier si et seulement si tous les \textstyle{n \choose k} pour k = 1, … , n – 1 sont divisibles par n.
  • Les diviseurs premiers de \textstyle{n \choose k} possèdent la propriété suivante :

Si p\quad est un nombre premier et p^r\quad est la plus grande puissance de p\quad qui divise \textstyle{n \choose k}, alors r\quad est égal au nombre d'entiers naturels j\quad tels que la partie fractionnaire de \frac{k}{p^j}\, soit plus grande que la partie fractionnaire de \frac n{p^j}. C'est le nombre de retenues dans la soustraction de n par k, lorsque ces deux nombres sont écrits en base p[1],[2].

En particulier, \textstyle{n \choose k} est toujours divisible par \frac n{\mbox{PGCD}\,(n,k)} (PGCD signifie plus grand commun diviseur).


La règle permet de déterminer les \textstyle{n \choose k} qui sont pairs. Il suffit pour cela de prendre p=2 et r \ge 1. La soustraction de n par k nécessite donc au moins une retenue en binaire. Cela signifie que, dans le développement binaire de n, il se trouve au moins un 0 situé au même rang qu'un 1 dans le développement binaire de k.

À l'inverse, \textstyle{n \choose k} est impair si, à chaque fois que k possède un 1 dans son développement binaire, il en est de même de n au même rang. On dit que k implique n. Par exemple, si n est de la forme 2^p-1, tous ses chiffres binaires valent 1, et tous les \textstyle{n \choose k} seront impairs. Si n=2^p, alors n possède un seul 1 dans son développement binaire, et seuls \textstyle{n \choose 0} et \textstyle{n \choose n} sont impairs, tous les autres sont pairs.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Tout d'abord, comme dit plus haut, l'interprétation combinatoire amène à poser conventionnellement \textstyle{n \choose k} =0 pour n<k (puisqu'il n'existe pas de sous-ensembles à k éléments d'un ensemble à n éléments si n<k), et également \textstyle{n \choose k} =0 pour k<0.

L'écriture de \textstyle{n \choose k}, pour tout entier n et tout entier k compris entre 1 et n, sous la forme \textstyle{n \choose k} = \frac{\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)}{k!} permet d'envisager une extension possible aussi pour tout entier n négatif et tout entier k strictement positif en utilisant l'expression suivante :

{n \choose k} = \frac{\displaystyle\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)}{k!}

Si l'on pose n = −m, on a la relation suivante :

{-m \choose k} ={m+k-1\choose k}(-1)^k

C'est cette forme des coefficients binomiaux qui est utilisée dans la formule du binôme négatif ainsi que dans la définition de la loi binomiale négative

Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel k, on définit le coefficient binomial {z \choose k} de la manière suivante :

{z \choose k} = \frac{z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}=\frac{(z)_k}{k!}

(\cdot)_k est le symbole de Pochhammer pour les factorielles descendantes (en particulier, \textstyle{z\choose 0}=\frac{(z)_0}{0!}=\frac11=1).

C'est cette forme des coefficients binomiaux qui est utilisée dans la formule du binôme généralisée.

Pour tout entier k, l'expression \textstyle{z \choose k} est un polynôme en z de degré k à coefficients rationnels. Tout polynôme p(z) de degré d peut réciproquement être écrit sous la forme  p(z) = \sum_{k=0}^{d} a_k {z \choose k} ; on aboutit ainsi, par exemple, aux formules de Faulhaber.

Une autre généralisation importante des coefficients binomiaux part de la formule du multinôme, laquelle permet de définir les coefficients multinomiaux.

Enfin, le calcul de \textstyle{n \choose k} peut se généraliser, à l'aide de la fonction Gamma. On remarque que, pour tout entier naturel n, n!=\Gamma(n+1), ainsi, l'on a, pour tout entier n et pour tout entier k inférieur ou égal à n,

 {n \choose k} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}

Comme la fonction  \Gamma est définie pour tout complexe de \C \backslash \mathbb Z_-, on peut généraliser le coefficient binomial à tous complexes s et t différents des entiers négatifs et tels que s − t ne soit pas un entier négatif, par la formule :

 {s \choose t} = \frac{\Gamma(s+1)}{\Gamma(t+1)\Gamma(s-t+1)};

Cette formule peut d'ailleurs s'écrire plus simplement à l'aide de la fonction bêta :

 {s \choose t} = \frac1{(s+1)\Beta(t+1,s-t+1)};

On peut tenter d'unifier les définitions avec la fonction Gamma, en résolvant le problème de pôles de cette fonction par un passage à la limite :

 {s \choose t} =\lim_{u\to s}\lim_{v \to t} \frac{\Gamma(u+1)}{\Gamma(v+1)\Gamma(u-v+1)}

L'ordre des limites est important[3]. Cette définition donne une valeur infinie au coefficient binomial dans le cas où s est un entier négatif et t n'est pas un entier (ce qui n'est pas en contradiction avec la définition précédente puisqu'elle ne prenait pas en compte ce cas là).

Formules faisant intervenir les coefficients binomiaux[modifier | modifier le code]

On suppose que k, n sont des entiers ; x, y, z, z′ des complexes.

On rappelle que :

 {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} \qquad \mbox{(2)} (formule de Pascal)
 (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{n \choose k} x^{n-k} y^k \qquad (3) (formule du binôme de Newton)

Les formules suivantes peuvent être utiles :

{n \choose k} = {n \choose n-k}          \qquad (4)
{n \choose k} = \frac nk{n-1 \choose k-1}  \qquad(k>0) et plus généralement {z \choose k} = \frac{z}{k}{z-1 \choose k-1}\qquad (5).

En remplaçant dans (3) x = y = 1, on obtient

 \sum_{k=0}^n{n \choose k} = 2^n \qquad (6)  ;

De nombreuses formules analogues peuvent être obtenues ainsi ; par exemple, avec x = 1 et y = −1, on obtient  \sum_{k=0}^n(-1)^k{n \choose k} = 0 ; avec x = 1 et y = i (donc y2 = −1), on obtient  \sum_{k=0}^n(-1)^k{n \choose 2k} = \operatorname{Re}((1+i)^n)=2^{n/2}\cos (n\pi/4).

Dans l'identité (3), en remplaçant y par 1 et en prenant la dérivée en 1 par rapport à x, il vient

 \sum_{k=1}^n k {n \choose k} = n 2^{n-1} \qquad (7)

En développant (x + y)^n(x + y)^m = (x + y)^{m +n}\, avec (3), on obtient l'identité de Vandermonde :

 \sum_{j=0}^{k} {m \choose j} {n \choose k-j} = {m+n \choose k} et plus généralement  \sum_{j=0}^{k} {z \choose j} {z' \choose k-j} = {z+z' \choose k} \qquad (8)

À partir du développement (8), en remplaçant m = k = n et en utilisant (4), on obtient

 \sum_{k=0}^n{n \choose k}^2 = {2n \choose n} \qquad (9)

En développant (x+y)^{2n}(x-y)^{2n}=(x^2-y^2)^{2n}\, et en observant le coefficient devant  x^{2n}y^{2n}\,, on obtient

 \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k{2n \choose k}^2 = (-1)^n {2n \choose n} \qquad (10)

On a,

 \sum_{k=0}^n{n-k \choose k} =  F (n+1) \qquad (11) ,

F(n + 1) désigne le n + 1-ième terme de la suite de Fibonacci. Cette formule sur les diagonales du triangle de Pascal peut être démontrée par une récurrence sur n en utilisant (2).

Et enfin,

 \sum_{j=k}^n{j \choose k} = {n+1 \choose k+1} \qquad (12)

Cela peut être démontré par récurrence sur n en utilisant (2).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. E. E. Kummer, Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesentzen, J. Reine Angew. Math., 44, (1852), 93-146
  2. (en) Donald Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1 (Fundamental algorithms), Addison-Wesley, 2e éd., p. 68
  3. John D. Cook, Binomial coefficients

Articles connexes[modifier | modifier le code]

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