Classe de Stiefel-Whitney

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En topologie algébrique, les classes de Stiefel-Whitney sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels réels de rang fini.

Elles constituent donc un analogue réel des classes de Chern dans le cas complexe.

Elle portent les noms de Eduard Stiefel et de Hassler Whitney.

Toute classe caractéristique associée aux fibrés vectoriels réels apparaît comme un polynôme en les classes de Stiefel-Whitney.

Axiomatique[modifier | modifier le code]

Pour tout fibré vectoriel \xi=E\rightarrow B, il existe des classes de cohomologie w_n(\xi)\in H^n(B;\Z/2\Z), n\in\N, vérifiant les axiomes suivants :

  • w_0(\xi)=1 et w_n(\xi)=0 pour n strictement supérieur à la dimension des fibres ;
  • si f:B'\rightarrow B est une application continue, alors ~f^*(w_n(\xi))=w_n(f^*(\xi)) ;
  • si l'on note w(\xi)=1+w_1(\xi)+w_2(\xi)+\ldots, alors w(\xi\oplus \xi')=w(\xi)\smile w(\xi')\xi\oplus\xi' désigne la somme de Whitney des fibrés \xi et \xi';
  • w_1(\gamma^1)\neq 0\gamma^1 désigne le fibré en droites tautologique (en) sur \R P^1.

La dernière condition assure que les classes ne sont pas triviales. En effet, si on retirait cette condition, on pourrait poser w_i(\xi)=0 pour tout i positif ou nul.

Conséquences[modifier | modifier le code]

  • Si \xi est isomorphe à \eta, alors w_n(\xi) = w_n(\eta).
  • Le deuxième axiome assure aussi que les classes de Stiefel-Whitney d'un fibré trivial sont nulles (sauf celle d'indice 0). En effet un fibré trivial est isomorphe au produit fibré d'un fibré sur le point et la cohomologie d'un point est triviale en dimension strictement positive.
  • Le troisième axiome implique que la somme d'un fibré avec un fibré trivial ne change pas ses classes de Stiefel-Whitney. Par exemple la somme du fibré tangent de Sn avec le fibré normal (qui est un fibré trivial) est un fibré trivial et donc ses classes de Stiefel-Whitney sont nulles pour n > 0.

Application[modifier | modifier le code]

Si B est homotopiquement équivalent à un CW-complexe, alors un fibré vectoriel EB est orientable si et seulement si w_1(E) = 0.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Invariant de De Rham (en)

Référence[modifier | modifier le code]

(en) John Milnor et James Stasheff (en), Characteristic Classes, Princeton University Press, coll. « Annals of Mathematics Studies » (no 76),‎ 1974 (lire en ligne)