Classe de Chern

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Les classes de Chern sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels. Elles tiennent leur nom du mathématicien sino-américain Shiing-Shen Chern, qui les a introduites en 1946 dans le cas complexe.

Les classes de Chern ont des applications importantes en mathématiques, notamment en topologie et géométrie algébriques, et en physique dans l'étude des théories de Yang-Mills et des champs quantiques.

Motivation[modifier | modifier le code]

Distinguer deux fibrés vectoriels sur une variété lisse est en général un problème difficile. La théorie des classes de Chern permet d'associer à chaque fibré un invariant topologique, sa classe, de sorte que si les classes diffèrent, alors les fibrés diffèrent. Ces classes conservent un certain nombre d'informations sur les fibrés qu'elles représentent, mais restent calculables en pratique.

Définition[modifier | modifier le code]

Cohomologie intégrale de l'espace classifiant[modifier | modifier le code]

Soit n ≥ 1, U(n) le groupe unitaire et BU(n) son espace classifiant (en). Les classes de Chern de l'espace classifiant du groupe unitaire sont les éléments

c_i \in H^{2i}(BU(n), \mathbb Z)

qui vérifient :

  • c_0 = 1 et c_i = 0 pour tout i > n ;
  • Pour n = 1, c_1 engendre \mathbb Z ;
  • Pour l'inclusion i : BU(n) \to BU(n+1), on a pour tout produit fibré i^*c_i^{(n+1)} = c_i^{(n)} ;
  • Pour l'inclusion BU(k) \times BU(l) \hookrightarrow BU(k+l), on a i^*c_i = \sum_{j=0}^i c_i \cup c_{j-i}.

En particulier, l'anneau de cohomologie (en) de BU(n) est l'algèbre de polynômes sur les classes de Chern :

H^{\bullet}(BU(n), \mathbb Z) \simeq \mathbb Z(c_1, \ldots, c_n)

Axiomes de Grothendieck[modifier | modifier le code]

Les classes de Chern peuvent être définies de manière axiomatique. Si V est un fibré vectoriel sur un espace topologique X, les classes de Chern de V sont les éléments

c_i(V) \in H^{2i}(X, \mathbb Z)

qui vérifient les propriétés suivantes :

La quantité c(V) = c_1(V) + \cdots + c_n(V) est appelée classe de Chern totale de V.

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit un fibré vectoriel hermitien C de rang (complexe) n sur une variété lisse M. Un représentant de chaque classe de Chern de V, noté c_k(V), est donné comme coefficients du polynôme caractéristique de la forme de courbure \Omega de V. Puisque \Omega=\mathrm d\omega+\tfrac{1}{2}[\omega,\omega] avec \omega la forme de connexion et \mathrm d la dérivée extérieure, on a :

\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k

Le déterminant est calculé sur l'anneau des matrices n × n de polynômes en t à coefficients dans l'algèbre commutatice des formes différentielles paires sur M. Dans cette expression, l'addition d'une forme différentielle exacte ne change pas l'appartenance à une classe : les classes de Chern dans ce cas coïncident avec les classes de cohomologie de De Rham.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]