Champ aléatoire de Markov

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Un Champ aléatoire de Markov est un ensemble de variables aléatoires vérifiant une propriété de Markov relativement à un graphe non orienté.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit G = (V,E) un graphe non orienté et X = \{X_i\}_{i \in V} un ensemble de variables aléatoires indexé par les sommets de G. On dit que X est un champ aléatoire de Markov relativement à G si une des trois propriétés suivantes est vérifiée

  • X_u \perp\!\!\!\perp X_v \mid X_{V\setminus \{u,v\}}, \forall (u,v) \notin E , c'est-à-dire que deux variables aléatoires dont les sommets associés ne sont pas voisins dans le graphe G sont indépendantes conditionnellement à toutes les autres variables.
  • X_u \perp\!\!\!\perp X_{V \setminus cl(u)} \mid X_{V \setminus \partial u}, avec \partial u l'ensemble des voisins de u et cl(u) = \{u\} \cup \partial u. C'est-à-dire qu'une variable est indépendante de toutes les autres conditionnellement à son voisinage.
  • X_A \perp\!\!\! \perp X_B \mid X_S, lorsque S sépare A et B: c'est-à-dire que tout chemin d'un sommet de A vers un sommet de B passe par un sommet de S.

Il existe des conditions sous lesquelles ces trois propriétés sont équivalentes mais ce n'est cependant pas toujours le cas. Par exemple, dans le cas où la loi de X admet une densité continue et strictement positive par rapport à une mesure les trois propriétés ci-dessus sont équivalentes[1]. Dans le cas où les variables aléatoires sont discrètes la stricte positivité de la loi suffit donc.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Les champs de Markov sont utilisés, en autres, pour la classification en fouille de données spatiales[2],[3], l'analyse d'image[4], la prédiction de trafic automobile[5], pour la cartographie des risques épidémiologiques[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Steffen Lauritzen, Graphical models, USA, Oxford University Press,‎ 1996, 312 p. (ISBN 0198522193), p. 32-35
  2. Miller et Han 2009, p. 129
  3. [PDF]Foudil Belhad, « Reconstruction Tridimensionnelle à Partir de Coupes Seriées » (consulté le 24 septembre 2011)
  4. [PDF](en) Carlos Hernandez-Gracidas, L. Enrique Sucar, « « Markov Random Fields and Spatial Information to Improve Automatic Image Annotation » » (consulté le 26 octobre 2011)
  5. [PDF](en) Natalie Yudin, Jason Laska, « « Are we there yet? Traffic flow prediction via Markov Random Fields » » (consulté le 26 octobre 2011)
  6. [PDF]Lamiae Azizi, « Champs aléatoires de Markov cachés spatio-temporels pour la cartographie du risque en épidémiologie »,‎ 2008 (consulté le 26 octobre 2011)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Harvey Miller et Jiawei Han, Geographic Data Mining and Knowledge Discovery, Boca Raton, CRC Press,‎ 2009, 458 p. (ISBN 978-1-4200-7397-3).Document utilisé pour la rédaction de l’article

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]