Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle

Les 3 cercles exinscrits d'un triangle et son cercle inscrit.

Étant donnés trois points non alignés A, B et C du plan, il existe quatre cercles tangents aux trois droites (AB), (AC) et (BC). Ce sont le cercle inscrit (pour celui qui est intérieur au triangle) et les cercles exinscrits du triangle ABC.

Bissectrices

Un cercle tangent aux trois droites (AB), (BC), (CA) doit posséder un centre équidistant de ces trois droites. Or l'ensemble des points équidistant de deux droites sécantes (d₁) et (d₂) forme deux droites perpendiculaires, constituées des quatre demi-droites bissectrices chacune d'un des quatre secteurs angulaires construits par les droites (d₁) et (d₂), et appelées bissectrices des droites (d₁) et (d₂).

Si on considère les trois côtés du triangle en tant que droites, on dispose en tout de 6 bissectrices : 2 bissectrices pour chaque couple de droites. Par chacun des sommets du triangle, passe une bissectrice intérieure (qui rencontre le côté opposé du triangle) et une bissectrice extérieure (qui est l'autre bissectrice).

Si une bissectrice issue de A rencontre une bissectrice issue de B alors le point d'intersection, étant équidistant de (AB) et (AC) et équidistant de (BA) et (BC), est à égale distance de (CA) et (CB) et appartient donc à l'une (et une seule) des bissectrices issues de C. Il y a donc 4 points de concours possibles.

Bissectrices et cercle inscrit d'un triangle.

Cas du cercle inscrit. Les bissectrices intérieures issues de A et B se coupent à l'intérieur des secteurs angulaires (BAC) et (ABC), c'est-à-dire dans le triangle (ABC). Le point d'intersection est donc sur la bissectrice intérieure issue de C et plus exactement sur la demi-droite bissectrice du secteur angulaire (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. C'est le cercle inscrit.

Cas des cercles exinscrits. Les bissectrices extérieures issues de A et de B se coupent dans le secteur angulaire (ACB) et rencontrent donc, eux aussi, la demi-droite bissectrice de l'angle (ACB). Le point d'intersection est alors le centre d'un cercle tangent au segment [AB] et aux demi-droites d'origines A et B, de supports (AC) et (BC) et ne contenant pas C. C'est un cercle exinscrit au triangle. Un raisonnement analogue peut être fait pour les deux autres couples de bissectrices extérieures

Notation : dans cet article nous notons $A$, $B$ et $C$ les trois sommets du triangle, $a$ la longueur du côté $BC$, $b$ la longueur du côté $AC$ et $c$ la longueur du côté $AB$. Enfin $O$ désigne le centre du cercle inscrit et $O_A$, $O_B$ et $O_C$ les trois centres des cercles exinscrits

Cercle inscrit

Il existe un et un seul cercle intérieur au triangle et tangent à la fois à ses trois côtés. Ce cercle de centre $O \,$ est appelé « cercle inscrit » dans le triangle.

Le cercle inscrit à un triangle est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle. Son centre est le barycentre des points $(A,a)$ $(B,b)$ $(C,c)$. Son rayon est égal à

$r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{2S}{p}$

où $S$ désigne la surface du triangle et $p$ son périmètre. Son centre est le point d'intersection des bissectrices.

Point de Gergonne

Notons respectivement $T_A$, $T_B$ et $T_C$ les points de contact du cercle inscrit avec les côtés $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.

Pour chacun des sommets du triangle, les tangentes déterminent deux segments, du sommet aux points de contact, de longueurs égales : $T_CA = T_BA$ ainsi que $T_BC = T_AC$ et $T_AB = T_CB$.

Le produit des rapports $\frac{T_CA}{T_CB}\times \frac{T_AB}{T_AC} \times \frac{T_BC}{T_BA}$ est donc égal à 1.

D'après le théorème de Ceva ces trois céviennes sont concourantes en un point $G_e$ qui s'appelle le point de Gergonne du triangle et le triangle $T_AT_BT_C$ s'appelle le triangle de Gergonne du triangle $ABC$.

Point de Gergonne d'un triangle.

Cercles exinscrits

Il y a donc trois cercles exinscrits : chacun est tangent à un unique côté du triangle (considéré comme un segment). Nous nommons $C_A$ le cercle exinscrit touchant le côté $[CB]$, $C_B$ le cercle exinscrit touchant le côté $[AC]$ et $C_C$ le cercle exinscrit touchant le côté $[AB]$.

Les rayons des cercles exinscrits sont respectivement $r_A = \frac{2S}{-a+b+c}$, $r_B = \frac{2S}{a-b+c}$ et $r_C = \frac{2S}{a+b-c}$

$\frac{1}{r_A}+ \frac{1}{r_B} + \frac{1}{r_C}= \frac{p}{2S} = \frac{1}{r}$

Leurs centres sont barycentres des points $(A,-a)$ $(B,b)$ $(C,c)$ pour le premier, $(A,a)$ $(B,-b)$ $(C,c)$ pour le second et $(A,a)$ $(B,b)$ $(C,-c)$ pour le troisième.

Point de Nagel

Notons $U_A$ le point de contact de $C_A$ avec $[CB]$, $U_B$ le point de contact de $C_B$ avec $[AC]$ et $U_C$ le point de contact de $C_C$ avec $[AB]$.

Alors les droites $(AU_A)$, $(BU_B)$ et $(CU_C)$ sont concourantes : leur point d'intersection $N_a$ s'appelle le point de Nagel (de) du triangle. On appelle le triangle $U_AU_BU_C$ triangle de Nagel du triangle $ABC$.

Point de Nagel d'un triangle.

Point de Bevan

Les droites $(O_A\,U_A)$, $(O_B\,U_B)$ et $(O_C\,U_C)$ sont également concourantes : leur point d'intersection $B_e$ s'appelle le point de Bevan du triangle $ABC$ et le triangle $O_A\,O_B\,O_C$ s'appelle le triangle de Bevan de $ABC$.

Le point de Bevan est le symétrique du centre du cercle inscrit dans $ABC$, par rapport au centre du cercle circonscrit à $ABC$. Le point de Bevan et ces deux centres sont donc alignés.

Le point de Bevan est le centre du cercle circonscrit au triangle de Bevan.

Le triangle de Bevan et le triangle de Gergonne sont homothétiques.

Point et triangle de Bevan.

Point d'Apollonius

Il existe un unique cercle tangent simultanément aux trois cercles exinscrits et qui les contiennent (voir Problème des contacts); c'est le cercle d'Apollonius du triangle. De plus, si on note $V_A$, $V_B$ et $V_C$ les trois points de tangence alors les droites $(AV_A)$, $(BV_B)$ et $(CV_C)$ sont concourantes : leur point d'intersection $A_p$ s'appelle le point d'Apollonius du triangle.

Point d'Apollonius d'un triangle.

Théorème de Feuerbach

Article détaillé : Théorème de Feuerbach.

Les trois cercles exinscrits et le cercle inscrit sont tangents au cercle d'Euler du triangle. Les points de contact $F^e, F_A^e, F_B^e, F_C^e$ de ces cercles s'appellent les points de Feuerbach du triangle. Ce résultat constitue le théorème de Feuerbach.

Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach $F_A^eF_B^eF_C^e$ du triangle $ABC$.

Triangle de Feuerbach.

Références bibliographiques

• Sortais Yvonne et René, La géométrie du triangle, Hermann 1997 (ISBN 978-2-7056-1429-4)