Cercle de Mohr

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Tricercle de Mohr.

Le cercle de Mohr est une représentation graphique des états de contrainte à deux dimensions, proposée par Christian Otto Mohr en 1882.

Dans un graphique où l'axe horizontal représente l'amplitude de la contrainte normale et l'axe vertical représente l'amplitude de la contrainte de cisaillement, le cercle de Mohr est le lieu des états de contrainte en un point P lorsque le plan de coupe tourne autour du point P. Il s'agit d'un cercle centré sur l'axe horizontal dont les intersections avec l'axe horizontal correspondent aux deux contraintes principales au point P.

Ce cercle se construit à partir de la connaissance des efforts extérieurs auxquels est soumise la pièce. Il permet de déterminer :

  • les directions principales (\vec{x}_\mathrm{I}, \vec{x}_\mathrm{II}, \vec{x}_\mathrm{III}), ainsi que les contraintes principales σI, σII et σIII ;
  • la direction pour laquelle on a la cission τ maximale, qui est donc la direction de rupture probable (l'orientation du faciès de rupture), ainsi que la valeur de cette contrainte.

Problématique[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de l'état de contrainte[modifier | modifier le code]

Le cercle de Mohr est une représentation graphique de l'état de contrainte. Il permet une résolution graphique de la validation à l'état limite ultime, selon le critère de Tresca (cission maximale). C'est donc une méthode rapide et demandant peu de moyens de calcul par rapport au traitement du tenseur des contraintes, mais ayant une précision limitée par le tracé.

Notons que le cercle de Mohr représente l'état de contrainte en un point donné.

Recherche de la cission maximale[modifier | modifier le code]

La rupture d'un matériau ductile — c'est le cas de la plupart des métaux à température ambiante pour des vitesses de déformation modérées — se fait toujours en cisaillement : l'effort nécessaire pour « arracher » les atomes est beaucoup plus important que celui nécessaire pour faire glisser les atomes les uns sur les autres (voir Déformation plastique). Pour une sollicitation donnée d'une pièce, il faut donc savoir dans quelle section la cission τ (tau) est maximale.

Construction du cercle de Mohr dans le cas de la traction simple

Prenons le cas de la traction simple, ou traction uniaxiale. On sait que lors de cet essai, le faciès de rupture va s'amorcer lorsqu'il est orienté à 45 ° par rapport à l'axe de l'éprouvette. Si l'on considère une section droite de l'éprouvette, celle-ci a une aire S0 ; la force F que l'on applique est normale à cette section, on a donc une contrainte normale σ0 qui vaut:

\sigma_0 = \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{S}_0}

et un cisaillement nul.

Considérons une section inclinée ; elle a une aire S1. Si l'on projette la force \vec{\mathrm{F}} sur la normale \vec{n} à cette section, on obtient une force normale \vec{\mathrm{N}}_1. La contrainte normale σ1 vaut alors:

\sigma_1 = \frac{\mathrm{N}_1}{\mathrm{S}_1}.

Si l'on projette \vec{\mathrm{F}} sur la section, on obtient une force \vec{\mathrm{T}}_1. La cission τ1 vaut alors:

\tau_1 = \frac{\mathrm{T}_1}{\mathrm{S}_1}.

Plus la section est inclinée, plus T est grand, mais plus S est grand. La fraction τ = T/S présente un maximum pour une section située à 45 °, ce qui explique le faciès de rupture.

Si maintenant on trace τ = ƒ(σ), on voit que l'on obtient un cercle, le cercle de Mohr.

Cet exemple est repris ci-après de manière calculatoire.

Les faciès de rupture sur les essais uniaxiaux (traction ou compression) mettent en évidence cette direction de cission maximale à 45°.

Tracé du cercle pour des sollicitations simples[modifier | modifier le code]

État de contraintes planes[modifier | modifier le code]

Cas général[modifier | modifier le code]

Cercle de Mohr en état de contraintes planes.

Considérons un point P d'un solide ayant un état de contrainte plane. Il s'agit typiquement d'un point de la surface d'une pièce où aucune force extérieure ne s'applique : pas de pression hydrostatique, pas de contact avec une autre pièce (surface libre).

Nous supposons ici que l'on est dans un état de contraintes planes dans le plan (x, y ). Le tenseur des contraintes est donc symétrique et de la forme

\bar{\bar{\sigma}} = \begin{pmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} & 0 \\
 & \sigma_{y} & 0 \\
 & & 0
\end{pmatrix}

avec :

  • σx : contrainte normale sur la face normale à l'axe x ;
  • σy : contrainte normale sur la face normale à l'axe y ;
  • τxy : contrainte cisaillement sur la face normale à l'axe z.

Si les valeurs de ces trois contraintes sont connues, alors le cercle de Mohr se trace de la manière suivante :

  • on place le point A décrivant les contraintes sur la face normale à x, qui a pour coordonnées (σx, τxy), c'est un point du cercle ;
  • on place le point B décrivant les contraintes sur la face normale à y, qui a pour coordonnées (σy, -τxy), c'est un point du cercle ;
  • le segment [AB] est donc un diamètre, donc le milieu de [AB] est le centre du cercle ; si A et B ne sont pas sur l'axe horizontal, le centre est à l'intersection de [AB] et de l'axe σn ;
    cela permet de tracer le cercle ;
  • on vérifie que le centre du cercle a pour abscisse :
    Cz = (σx + σy)/2,
    et que le rayon du cercle vaut :
    \mathrm{R}_z = \frac{\mathrm{AB}}{2} = \sqrt{\left ( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right )^2 + \tau_{xy}^2}
    et τmax = Rz.

Si l'on veut connaître les contraintes sur une face quelconque faisant un angle θ avec le plan (x, y ), il faut prendre les coordonnées du point C situé à un angle -2θ du point A sur le cercle — l'angle (\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \overrightarrow{\mathrm{OC}}) vaut -2θ.

Les intersections du cercle avec l'axe horizontal σn donnent les contraintes principales σI et σII. Si l'on appelle -2θp l'angle que fait le point A avec l'horizontale — (\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \sigma_\mathrm{n}) = -2\theta_\mathrm{p} —, la direction première principale fait un angle θp avec l'axe des x, la seconde direction principale lui est perpendiculaire.

On note que sur le cercle : l'axe σn représente les directions principales et l'axe τn représente les directions de cission maximale ; les axes géométriques x et y sont représentés par une droite diamétrale inclinée d'un angle -2θp.

Sollicitation uniaxiale[modifier | modifier le code]

Cercle de Mohr pour un état de contrainte uniaxial.

Considérons un point P d'une pièce ayant un état de contrainte uniaxiale. Il s'agit typiquement :

  • de tout point d'une pièce rectiligne (poutre) subissant une traction ou une compression dans l'axe (couple de forces colinéaires égales et opposées) : tirant, bielle, poutre d'un treillis, d'une éprouvette de traction ou de compression ; on appelle x l'axe des forces ;
  • de tout point d'une pièce rectiligne en flexion pure (partie centrale d'une flexion 4 points) ; on appelle x l'axe de la pièce ;
  • de tout point de la surface supérieure ou inférieure d'une poutre en flexion simple (flexion 3 points).

La contrainte normale nominale est σx. Le cercle de Mohr est tangent à l'axe τn ; il se trouve du côté des σn positif dans le cas de la traction, et du côté des σn négatifs en compression. Son centre est au point d'abscisse Cz = σx/2, et le cisaillement maximal vaut τmax = Rz = σx/2.

Ceci est démontré comme suit.

État d'équilibre uniaxial

On considère un élément de matière cubique infinitésimal orienté selon le repère. La face normale à l'axe \vec{x} et orientée suivant cet axe subit une force \mathrm{d}\vec{\mathrm{F}}, répartie sur sa surface de vecteur \mathrm{d}\vec{\mathrm{S}}. À l'équilibre, la surface opposée (orientée suivant l'axe -\vec{x}) est soumise à un effort -\mathrm{d}\vec{\mathrm{F}}. Cet état est schématisé sur la figure ci-contre.

On notera \vec{\sigma}_{(\mathrm{P},\vec{x})}=\frac{\mathrm{d}\vec{\mathrm{F}}}{\mathrm{d}\vec{\mathrm{S}}} la contrainte au point P due à l'effort \mathrm{d}\vec{\mathrm{F}} sur la surface \mathrm{d}\vec{\mathrm{S}} dans la direction \vec{x}. On notera son module \sigma_x=\frac{\mathrm{dF}}{\mathrm{dS}}. De la même manière le module de \vec{\sigma}_{(\mathrm{P},\vec{y})} vaut : \sigma_y = 0.

On remarquera que le cisaillement est nul sur les deux surfaces considérées, les directions \vec{x}, \vec{y} sont donc principales et σx , σy sont les valeurs des contraintes principales.

État de contraintes sur une face orientée par \vec{n}_1

On détermine maintenant l'état de contrainte sur une face qui aurait tourné de α comme représenté sur le schéma ci-contre.

On a les contraintes suivantes :


        \overrightarrow{\sigma}(\mathrm{P},\overrightarrow{n_1})=
                \begin{cases}
                \sigma_{\overrightarrow{n1}} = \dfrac{\mathrm{dF} \cos \alpha}{\dfrac{\mathrm{dS}}{\cos \alpha}}=\sigma_x \cos^2 \alpha = \dfrac{\sigma_x}{2} + \dfrac{\sigma_x}{2} \cos (-2\alpha)\\
\\
                \tau_{\overrightarrow{n1}} = \dfrac{-\mathrm{dF} \sin \alpha}{\dfrac{\mathrm{dS}}{\cos \alpha}}=- \sigma_x \sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{\sigma_x}{2} \sin ( -2 \alpha )
                \end{cases}
Cercle de Mohr de la traction pure

C'est l'équation d'un cercle de centre \left ( \frac{\sigma_x}{2}, 0 \right ) et de diamètre \sigma_x. Lorsque l'on tourne de -2α sur le cercle, on tourne de α dans la matière. On a la représentation ci-contre.

On observe que le cisaillement \tau_{\overrightarrow{n1}} est maximal pour 2\alpha \equiv \pm \dfrac{\pi}{2} [2\pi] soit \alpha \equiv \pm \dfrac{\pi}{4} [\pi] : \tau = \pm \frac{\sigma_x}{2} suivant des directions à \alpha = \pm 45^{\circ}, ce qui justifie les observations.

Cisaillement pur[modifier | modifier le code]

Cercle de Mohr pour du cisaillement pur.

Le cisaillement pur se rencontre dans un tube en torsion, ainsi que dans une pièce cisaillée, mais uniquement sur le plan à la fibre neutre (le cisaillement simple s'accompagne d'une légère flexion).

Le cercle de Mohr est centré sur l'origine, Cz = 0. La contrainte de cisaillement maximale est également la cission nominale , τmax = Rz = τxy. Les directions principales sont les bissectrices du repère (x, y ) (droite à 45° dans l'espace réel), avec σI = -σII = τxy.

Sollicitation biaxiale[modifier | modifier le code]

Cercle de Mohr pour un état de contraintes biaxiales.

Considérons un point P où l'état de contrainte est biaxial. Il peut s'agir typiquement d'un point à l'air libre d'un réservoir sous pression, ou bien d'un point d'une tôle soumise à deux couples de forces perpendiculaires dans le plan de la tôle.

Le cercle passe par les points de coordonnées (σx, 0) et (σy, 0). On en déduit que

  • les axes x et y sont les directions principales ;
  • le centre du cercle a pour abscisse (σx + σy)/2 ;
  • la cission maximale vaut τmax = (σx - σy)/2.

Notons que σx ou σy peuvent être négatives.

On remarque que le cercle dans le cas σx = - σy est identique au cercle obtenu dans le cas d'un cisaillement pur, avec τxy = σx/2. L'état mécanique est donc identique, et donc si la matière est isotrope, l'état de la matière est identique, seule change l'orientation.

Tracé du cercle pour des sollicitations triaxiales[modifier | modifier le code]

Soit un point P où l'état de contrainte est triaxial. C'est typiquement un point d'un solide soumis à une pression hydrostatique ou lithosatique, et à une traction ou compression. L'essai triaxial est un essai pratiqué sur des sols (géotechnique).

Le tenseur des contraintes est de la forme

\bar{\bar{\sigma}} = \begin{pmatrix}
\sigma_x & 0 & 0 \\
 & \sigma_y & 0 \\
 & & \sigma_z
\end{pmatrix}.

et l'on suppose que σx ≥ σy ≥ σz. Si l'on considère une surface de normale \vec{n}(n_x, n_y, n_z), alors le vecteur contraintes vaut

\vec{\mathrm{T}}_{\vec{n}} = \bar{\bar{\sigma}} \cdot \vec{n} = 
\begin{pmatrix} \sigma_x n_x \\ \sigma_y n_y \\ \sigma_z n_z\end{pmatrix}

ayant pour composantes :

Si l'on ajoute le fait que le vecteur \vec{n} est un vecteur unitaire, on a un système de trois équations à trois inconnues nx2, ny2 et nz2 :

 \left \{ \begin{align}
n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 =\ & 1 \\
\sigma_x n_x^2 + \sigma_y n_y^2 + \sigma_z n_z^2 =\ & \sigma \\
\sigma_x^2 n_x^2 + \sigma_y^2 n_y^2 + \sigma_z^2 n_z^2 =\ & \sigma^2 + \tau^2 \\
\end{align} \right .

dont le déterminant vaut

\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
\sigma_x & \sigma_y & \sigma_z \\
\sigma_x^2 & \sigma_y^2 &\sigma_z^2 \\
\end{vmatrix} = (\sigma_x - \sigma_y)(\sigma_y - \sigma_z)(\sigma_z - \sigma_x)

La résolution de ce système donne :

 \left \{ \begin{align}
n_x^2 =\ & \frac{\tau^2 + (\sigma - \sigma_y)(\sigma - \sigma_z)}{(\sigma_x - \sigma_y)(\sigma_x - \sigma_z)} \\
n_y^2 =\ & -\frac{\tau^2 + (\sigma - \sigma_z)(\sigma - \sigma_x)}{(\sigma_x - \sigma_y)(\sigma_y - \sigma_z)} \\
n_z^2 =\ & \frac{\tau^2 + (\sigma - \sigma_x)(\sigma - \sigma_y)}{(\sigma_x - \sigma_y)(\sigma_z - \sigma_y)} \\
\end{align} \right .

Lorsque le vecteur \vec{n} tourne, les valeurs des ni2 balaient l'intervalle réel [0 ; 1]. On en déduit trois inéquations :

 \left \{ \begin{align}
\tau^2 + (\sigma - \mathrm{C}_x)^2 \geqslant\ & \mathrm{R}_x^2 \\
\tau^2 + (\sigma - \mathrm{C}_y)^2 \leqslant\ & \mathrm{R}_y^2 \\
\tau^2 + (\sigma - \mathrm{C}_z)^2 \geqslant\ & \mathrm{R}_z^2 \\
\end{align} \right .

avec

  • Cx = (σy + σz)/2, Rx = (σy - σz)/2 ;
  • Cy = (σx + σz)/2, Ry = (σx - σz)/2 ;
  • Cz = (σx + σy)/2, Rz = (σx - σy)/2.
« Tricercle de Mohr »

Dans le plan (σ, τ), la représentation des solutions des équations τ2 + (σ - Ci)2 = Ri2 sont des cercles de centre Ci et de rayon Ri. Donc, l'ensemble des valeurs (σ, τ) pour toutes les orientations possibles de \vec{n} est une surface délimitée par trois cercles.

Cette figure est appelée « tricercle de Mohr », à la fois parce qu'il s'agit de trois cercles de Mohr, mais aussi car elle est semblable à l'arbelos, forme étudiée entre autres par l'homonyme Georg Mohr.

Chacun des cercle est le cercle que l'on aurait si l'on se plaçait dans un contexte de contraintes biaxiales, (σy, σz), (σx, σz) et (σx, σy). Pour tracer le tricercle connaissant σx, σy et σz, on se rapporte donc aux cas précédents.

On remarque tous les cercles sont tangents deux à deux, et que le plus grand cercle est le cercle de rayon Ry, donc correspondant au plan (x, z ). La cission maximale vaut donc

τmax = Ry = (σx - σz)/2.

Généralisation[modifier | modifier le code]

L'état de contrainte triaxial est en fait l'état général : si l'on a un tenseur des contraintes dont aucune composante n'est nulle

\bar{\bar{\sigma}} = \begin{pmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
 & \sigma_y & \tau_{yz} \\
 & & \sigma_z
\end{pmatrix}

on sait qu'il existe un repère orthonormé, le repère principal, dans lequel le tenseur est de la forme

\bar{\bar{\sigma}} = \begin{pmatrix}
\sigma_{\mathrm{I}} & 0 & 0 \\
 & \sigma_{\mathrm{II}} & 0 \\
 & & \sigma_{\mathrm{III}}
\end{pmatrix}

ce qui nous ramène au cas précédent.

L'état de contrainte triaxial peut venir d'un chargement complexe, mais aussi tout simplement de la forme de la pièce. Par exemple, une éprouvette entaillée utilisée pour un essai Charpy présente un état de contrainte triaxial en fond d'entaille alors qu'elle n'est soumise qu'à de la flexion.

Cas dégénéré[modifier | modifier le code]

Considérons le cas où σII = σIII. On a :

  • CI = σII, RI = 0 ;
  • CII = CIII = (σI + σII)/2 ;
  • RII = RIII = (σI - σII)/2.

On voit que le cercle I se réduit à un point, et que les cercles II et III sont confondus. On a donc un seul cercle, identique au cas biaxial.

Autres cercles de Mohr[modifier | modifier le code]

De manière analogue, on peut tracer :

  • un cercle de Mohr des déformations ;
  • dans le cadre de la théorie des plaques, un cercle de Mohr des moments.

Cercle de Mohr des déformations[modifier | modifier le code]

On obtient le cercle de Mohr des déformations en traçant le diagramme (εii , εij)ij , ou si l'on préfère utiliser l'écart à l'angle droit γij , le diagramme (εii , ½γij)ij .

L'axe horizontal du cercle, ε, représente les directions principales. L'axe vertical, ½γ, représente les directions d'angle de glissement maximal.

Ce cercle de Mohr est très utile en extensométrie, pour dépouiller les résultats donnés par une rosette de jauges de déformation.

Cercle de Mohr des moments[modifier | modifier le code]

Plaque fléchie par une distribution uniforme de moments sur ses côtés
Coupe selon un plan faisant apparaître un moment de torsion

Considérons une plaque mince rectangulaire, subissant deux moments linéiques répartis uniformément: Mx le long de son côté parallèle à l'axe x et My le long de son côté parallèle à l'axe y. Ces moments linéiques ont pour unité le newton (Nm/m). Ce sont des moments fléchissants (ils créent une flexion).

Si l'on fait une coupe selon un plan faisant un angle α autour de l'axe z, on voit que cette face subit un moment fléchissant, qui courbe la face, et un moment de torsion qui l'incline. En écrivant l'équilibre de cette portion de plaque, on voit que le moment s'exerçant sur la face de coupe peut se décomposer en un vecteur moment normal mnn , qui crée la torsion (la section tourne dans le plan), et un vecteur moment tangentiel mnt qui crée la flexion (la plaque se courbe). On se retrouve dans une situation similaire à celle des contraintes normales et tangentielles.

On peut ainsi tracer un diagramme (mnn , mnt ) et l'on obtient un cercle. Les intersections de ce cercle avec l'axe mn donne les sections principales, c'est-à-dire les sections sur lesquelles le moment de torsion est nul.

[Théorie des plaques élastiques, département Architecture, géologie, environnement & constructions de l'Université de Liège]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Animations de l'École des Mines de Nancy :