Cercle d'Euler

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Cercle et droite d'Euler d'un triangle

En géométrie, le cercle d'Euler d'un triangle (aussi appelé cercle des neuf points, cercle de Feuerbach, cercle de Terquem, cercle médian) est l'unique cercle passant par les neuf points remarquables suivants :

  • Les trois milieux des trois côtés du triangle ;
  • Le pied de chacune des trois hauteurs du triangle ;
  • Le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre à un sommet du triangle.

Définition et propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle quelconque (ABC) le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit \Omega et l'orthocentre H sont alignés. (Précisément, l'homothétie de centre G et de rapport - \frac12 transforme H en \Omega.)

Indications[modifier | modifier le code]

Le cercle des neuf points d'Euler est l'homothétique du cercle circonscrit au triangle dans les homothéties de centre G et de rapport - \textstyle\frac12 et de centre H et de rapport \textstyle\frac12.

L'homothétie de centre G permet de mettre en place la droite et le cercle d'Euler.

L'homothétie de centre H permet de trouver les neuf points du cercle d'Euler comme points correspondants du cercle circonscrit.

L'homothétie de centre G[modifier | modifier le code]

Notons I_1 le milieu de [BC], I_2 le milieu de [AC] et I_3 le milieu de [AB]. Il n'est pas difficile de voir que l'homothétie de centre G et de rapport - \frac12 transforme le triangle ABC en le triangle médian I_1 I_2 I_3 et le cercle circonscrit de ABC en cercle circonscrit à I_1 I_2 I_3 : ce dernier cercle est précisément le cercle d'Euler.

Ce euler.gif

Cette même homothétie de centre G permet de dire que \overrightarrow {\Omega I_1}=-\frac 12 \overrightarrow{HA}=\frac12 \overrightarrow{AH}. Soit A1 le symétrique de A par rapport à Ω. Dans le triangle AHA1, la droite (ΩI1) est donc la droite des milieux du triangle et le point I1 le milieu de [HA1] : A1 est le symétrique de H par rapport à I1.

Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

L'homothétie de centre H[modifier | modifier le code]

L'homothétie de centre H et de rapport \scriptstyle \frac12, transforme A1 en I1, de même les points I2 et I3 sont les images de deux points du cercle circonscrit. Le cercle d'Euler circonscrit au triangle I1I2I3 est l'image du cercle circonscrit à ABC, dans l'homothétie de centre H et de rapport \scriptstyle \frac12.

On note K1, le point d'intersection (autre que A) de la hauteur (AH1) avec le cercle circonscrit. Le segment [AA1] étant un diamètre, le triangle AK1A1, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle. Les droites (BC) et (K1A1), perpendiculaires à la hauteur (AH1), sont parallèles. La droite (I1H1) passe par le milieu I1 de [HA1], c'est la droite des milieux de HA1K1, H1 est donc milieu de [HK1]. La droite (HK1) étant perpendiculaire à (BC), K1 est le symétrique de H par rapport à (BC).

Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.

Le point H1 est le milieu de [HK1], c'est donc l'image de K1 par l'homothétie de centre H. Comme K1 est situé sur le cercle circonscrit, H1 est sur le cercle d'Euler. Les pieds des hauteurs sont situés sur le cercle d'Euler. L'homothétie de centre H transforme les sommets du triangle en les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] qui sont trois derniers points situés sur le cercle d'Euler.

Découvertes[modifier | modifier le code]

En 1821, les mathématiciens français Brianchon et Poncelet démontrent ensemble que les milieux des côtés et les pieds des hauteurs du triangle sont cocycliques : ils mettent ainsi en évidence l'existence d'un cercle passant par ces six points remarquables. L'année suivante, le résultat fut redécouvert par le géomètre allemand Feuerbach. Le cercle d'Euler est aussi appelé cercle de Feuerbach. De plus, toujours en 1822, il démontra que le cercle des neuf points est tangent extérieurement aux cercles exinscrits et tangent intérieurement au cercle inscrit du triangle. Ce résultat s'appelle le théorème de Feuerbach et ajoute quatre nouveaux points remarquables : les points de contact, appelés points de Feuerbach.

Par la suite, Terquem mit en évidence que trois autres points appartiennent à ce cercle : les milieux des segments formés par les sommets du triangle et l'orthocentre. En 1842, Terquem apporta une deuxième preuve au théorème de Feuerbach. Une troisième preuve géométrique fut apportée en 1854.

Depuis, on lui a ajouté quelques dizaines d'autres points remarquables du triangle.

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

On montre, en utilisant l'homothétie introduite au premier paragraphe, que :

  • Le rayon du cercle d'Euler est la moitié du rayon du cercle circonscrit.

\overline{GH} = -2 \overline{G\Omega}      et      \overline{GE}=-{1\over 2}\overline{G\Omega}

ce dont on déduit que dans un triangle, le centre du cercle d'Euler E, est le milieu de [HΩ], segment joignant l'orthocentre H au centre du cercle circonscrit Ω.

\frac{\overline{G\Omega}}{\overline{GE}}= - \frac{\overline{H\Omega}}{\overline{HE}}

Hexagramme de Pascal[modifier | modifier le code]

Une propriété projective que n'avait pas vue Euler :

La droite de Pascal de l'hexagramme H_1I_2H_3I_1H_2I_3H_1 est la droite d'Euler du triangle.

Voir aussi[modifier | modifier le code]