Centre d'un groupe

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En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe G l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les autres.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe, noté multiplicativement.

 Z_G = \left\{ z \in G\mid\forall g \in G, gz = zg \right\}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

Application[modifier | modifier le code]

L'action par conjugaison de G sur lui-même est le morphisme de G dans le groupe des automorphismes de G \iota: G \to Aut(G), \, g \mapsto\iota_g,

ιg est l'automorphisme intérieur défini par \iota_g: G \to G, h \mapsto g h g^{-1}.

Son noyau et son image sont

\ker(\iota)=Z_G\quad\text{ et }\mbox{im}(\iota)=\mbox{Int}(G).

Le sous-groupe Int(G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.

On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :

G/Z(G)\simeq\mbox{Int}(G).

Articles connexes[modifier | modifier le code]