Cent (musique)

Le cent et le savart (symbole σ) sont des unités de mesure fine des intervalles musicaux, basés tous deux sur l'échelle logarithmique.

Le cent vaut environ un quart de savart.

Ce sont des unités de graduation des accordeurs électroniques qui permettent de mesurer les petits écarts entre la hauteur d'une note particulière et une référence donnée.

Le savart fut défini sur une base décimale au début du XX^e siècle ; de nos jours, le cent, défini un siècle auparavant comme la centième partie du demi-ton, est utilisé communément par les acousticiens.

L'échelle logarithmique des hauteurs

Dans la théorie de l'acoustique musicale, dire que deux paires de sons musicaux ont le même intervalle signifie que la fréquence fondamentale du plus haut de chacune des paires s'obtient en multipliant celle du plus bas par le même nombre.

Exemple—Octave et triton :

Deux notes dans un intervalle d'octave ont leurs fréquences fondamentales dans un rapport 2

• la 2 à 220 Hz, la 3 à 440 Hz, la 4 à 880 Hz.

Une octave a douze demi-tons. En musique, une demi-octave est donc un triton, de six demi-tons. Pour passer de la note à l'octave, il faut multiplier par deux. Pour passer deux fois par un triton, et arriver à l'octave, il faut multiplier deux fois par la même quantité t, et arriver à 2. Si t × t = 2, t = √2 (racine carrée de 2).

On dit que les fréquences fondamentales des notes de musique sont en progression géométrique.

Un demi-ton correspond à un rapport égal à la racine douzième de deux, soit approximativement 1,0594630944.

Dire que pour les notes, ajouter une octave équivaut à multiplier la fréquence fondamentale par 2, c'est dire que l'intervalle des notes en octaves est le logarithme en base 2 de la fréquence fondamentale.

Les logarithmes s'ajoutent quand les nombres qu'ils représentent se multiplient. Dire qu'un demi-ton est un douzième d'octave équivaut à dire que l'intervalle en demi tons est le douzième du logarithme en base deux du rapport des fréquences.

On peut choisir une base plus commode pour le logarithme, et multiplier le résultat de sorte que l'octave corresponde toujours à un rapport 2.

Le savart

Son nom vient de Félix Savart (1791-1841), célèbre pour ses travaux sur l'acoustique.

L'intervalle en savarts entre deux fréquences est mille fois le logarithme décimal de leur rapport.

En d'autres termes, l'intervalle en savarts entre deux sons de fréquences fondamentales f₁ et f₂ est

$N=1000\cdot \log _{10}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right).$

Le rapport de fréquence fondamentale de deux notes séparées d'une octave est de 2. Le logarithme décimal de 2 valant 0,30103..., on vérifie facilement que l'octave correspond à environ 301 savarts.

Par approximation, on posera que l'octave est de 300 savarts (ce qui est la définition usuelle du savart), et le demi-ton tempéré (au nombre de 12 par octave) est quant à lui de 25 savarts.

Le savart correspond approximativement au plus petit intervalle décelable par un auditeur entraîné.

Le seuil de différentiation de l'oreille humaine entre deux fréquences proches varie selon les fréquences, avec un minimum aux alentours de 1 500 Hz (sol⁵), où, pour des sujets entraînés et un niveau sonore moyen ou fort, il peut diminuer jusqu'à 0,25 %, soit environ 1 savart. Au-dessus du do³ (261 Hz), le seuil est toujours inférieur à 2 savarts ; mais plus bas, il augmente nettement, et pour le do^-1 (32,7 Hz), il est d'environ 10 savarts

Le cent

Un cent se définit comme le centième du demi-ton tempéré.

Le demi-ton tempéré est donc égal à 100 cents et l'octave à 1200 cents (la gamme chromatique tempérée étant composée de 12 demi-tons identiques).

La valeur en cents de l'intervalle entre deux notes de fréquences f₁ et f₂, est :

$c=1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)={\frac {1200}{\log _{10}2}}\cdot \log _{10}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)$

Cette formule prend en compte le fait que la correspondance entre les notes et leur fréquence est logarithmique (le passage à l'octave supérieure nécessite de doubler la fréquence).

Inversement, la formule pour déterminer un rapport de fréquences à partir d'une valeur en cents est :

$r={10}^{\frac {c\cdot {\log _{10}2}}{1200}}$

Équivalences

En reprenant les définitions du savart et du cent, on en déduit l'équivalence suivante :

$c={\frac {12}{10\cdot \log _{10}2}}s\approx 4s$

et

$s={\frac {10\cdot \log _{10}2}{12}}c\approx {\frac {c}{4}}$

Le tableau suivant présente les équivalences pour les intervalles de la gamme tempérée.

Intervalle	Écart en demi-tons	Rapport de fréquences	Écart en cents	Écart en savarts
unisson	0	1,000	0	0
seconde mineure	1	~1,059	100	~25
seconde majeure	2	~1,122	200	~50
tierce majeure	4	~1,260	400	~100
quarte	5	~1,335	500	~125
quinte	7	~1,498	700	~176
sixte	9	~1,682	900	~226
octave	12	2,000	1200	~301

Savart et Sauveur

Fréquences de la gamme de Zarlino exprimées en cent.

Joseph Sauveur (1653 - 1716), mathématicien inventeur du mot acoustique, s'est intéressé à la valeur du logarithme décimal de 2, qui multiplé par 1000 donne à peu de chose près 301. Comme 301 = 43 × 7 il fut tenté de décomposer l'octave en 43 mérides et chaque méride en 7 heptamérides, si bien qu'un savart correspond à une heptaméride.

Bien qu'une heptaméride soit « ordinairement insensible, même pour les musiciens », Sauveur avait de plus divisé l'heptaméride en 10 fractions appelées décaméride (3010 décamérides donc dans un octave si bien que ce micro intervalle est à peine plus grand qu'un tiers de cent - 3600 tiers de cent par octave).

Le tempérament égal devenant une référence musicale, Alexander Wood proposa de considérer que le savart correspondait à la subdivision du canon (l'octave) en 300 micro intervalles, si bien que chaque demi-ton égal correspondait à 25 savarts^{[réf. nécessaire]}. Cependant, Gaspard de Prony préconisait d'utiliser le demi-ton tempéré comme unité d'intervalle, le prony, dont la subdivision centièmes a ensuite prévalu sous le nom de cent avec la correspondance de quatre cents pour un savart. Cette unité, plus en rapport avec la pratique musicale, a finalement eu plus de succès

Néanmoins le travail de Sauveur a été poursuivi sur la base du logarithme décimal de 2 et le mathématicien anglais Auguste de Morgan (1806 - 1871) a introduit ce qu'ii a appelé atom et qui correspond à la subdivision de l'octave en 30103 (joli nombre palindromique ce qui ne le rend pas plus extraordinaire qu'un autre cependant pour fonder la musique).

Cet atome musical sera renommé jot par John CurwenJohn Curwen (1816 - 1880) sur une suggestion de Hermann von Helmholtz et se trouve assimilé en fait à 1/100e de l'heptameride, ou, si on veut revenir vers le tempérament égal au micro intervalle de base de la subdivision 30000 du canon et correspond donc à un cinquième du dixième de cent (soit 1/50e de cent), mais si l'on poursuit dans les subdivisions décimales du demi-ton égal, il vaudrait mieux considérer que cet atome musical serait donc la moitié d'un jot (subdivision 60000 de l'octave).

Mais quel est l'intérêt de cette atomicité si l'on doit donner les fréquences relatives à une fréquence fondamentale en nouveaux atomes ? Le seul intérêt est de voir que l'expression des fractions zarliniennes (fractions ne comportant que les nombres 2, 3 et 5 ou leurs puissances au numérateur et au dénominateur, comprises entre 1 et 2, et qui semblent refléter ce que l'on appelle l'Harmonie musicale, les autres fractions avec d'autres nombres - 7, 11, 13.... - relevant plus précisément de la notion des harmoniques) ne donne pas un compte exact de cents (on pourrait avoir en fait 517,33 cents, même si en apparence on approxime par le nombre exact 517).^{[réf. nécessaire]}

Il faudrait en effet examiner à partir de quel micro intervalle l'harmonie (liée aux sons donc à des phénomènes vibratoires) n'amplifierait pas d'infimes erreurs d'approximation, confondre 517 cents avec 517,33 cents pourrait en effet très bien poser problème en associant cette note avec une autre (elle-même approximée en cents) dans un accord. L'harmonie zarlinienne permet-elle d'y remédier et comment alors trouver, si elle existe, une subdivision style décaméride (3000) ou au plus quart de cent (4800), dont les diverses positions à un chouia atomique près (rien n'est jamais exact sauf idéalement) correspondrait, en terme d'intervalle, aux fréquences zarliniennes d'une tonique 1 donnée.^{[réf. nécessaire]}

Une telle subdivision existe (dite euzenienne du nom de son inventeur): 4296 hiotas et le chouia est quant à lui proche du 1/78000e de l'octave en terme d'intervalle, donc sous l'atome de la subdivision 60000. Ce chouia correspond même (en revenant au rapport de fréquences) à un comma mathématique zarlinien (au sens de comma mathématique chez les canoniciens comme M Hellegouarch).^{[réf. nécessaire]}

Les positions des demi-tons du tempérament égal et les 25 positions de part et d'autre en comptant 7 hiotas à chaque fois, correspondent aux 612 fractions zarliniennes les plus simples au chouia près. D'une plage chromatique à l'autre, entre les positions extrême du système 612 on trouve 8 hiotas, si bien que les quarts de ton purs ne peuvent pas faire partie de l'harmonie 612, ce qui explique peut-être l'impossibilité d'une harmonie musicale incluant les quarts de ton. Cette harmonie 612 permet bien évidemment (en théorie bien évidemment vu les désaccordages permanents des instruments et les modifications de l'hygrométrie de l'air ambiant) ce que certains appellent la justesse expressive.^{[réf. nécessaire]}

Ce système 4296, quand il n'est pas tourné vers le système harmonique musical 612, permet d'autres choix de tempéraments musicaux (Slendro, Siam,....) vu la finesse atteinte (au delà de 4000) peu importe de tomber juste pile poil puisque hors harmonie zarlinienne pure, mais attention l'harmonie musicale 612 reste à l'affût derrière (surtout pour des oreilles profanes c'est-à-dire musicalement peu exercées et dont le cerveau vient corriger en permanence ce qu'il croit ne pas coller avec ce qu'il connaît...).^{[réf. nécessaire]}

Voir aussi

Articles connexes

• midicent

Bibliographie

• Pierre-Yves Asselin, Musique et tempérament, Éditions JOBERT, 2000, 236 p. (ISBN 2-905335-00-9)