Cardinal de Ramsey

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un cardinal de Ramsey est un type de grand cardinal défini par Paul Erdős et András Hajnal (en)[1], et nommé ainsi en référence à la théorie de Ramsey.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit κ un nombre cardinal infini, [κ] l'ensemble des sous-ensembles finis de κ ; on dit que κ est un cardinal de Ramsey (ou simplement que κ est Ramsey) si, pour toute application f de [κ] dans l'ensemble {0, 1}, il existe un sous-ensemble A de κ ayant le même cardinal que κ qui est homogène pour f, c'est-à-dire que pour tout n, f est constante sur les sous-ensembles de A de cardinal n (cette définition est inspirée du théorème de Ramsey infini).

Avec les mêmes notations, on dit que κ est presque Ramsey si, pour toute application f : [κ] → {0, 1} et pour tout λ < κ, il y a un sous-ensemble de κ de type d'ordre λ qui est homogène pour f.

Propriétés de grand cardinal[modifier | modifier le code]

L'existence d'un cardinal de Ramsey permet de démontrer celle de 0# (en). Plus généralement, si κ est Ramsey, tout ensemble de rang (en) strictement inférieur à κ possède un dièse (en).

Tout cardinal mesurable est Ramsey, et tout cardinal de Ramsey est un cardinal de Rowbottom (en).

Entre les cardinaux de Ramsey et les cardinaux mesurables, les cardinaux ineffablement Ramsey sont définis comme ceux pour lesquels, pour chaque ensemble stationnaire (en) A et pour chaque fonction f: [κ] → {0, 1}, il existe un ensemble stationnaire BA qui est homogène pour f.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Erdős et Hajnal 1962

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) F. R. Drake, Set Theory: An Introduction to Large Cardinals, Elsevier Science, coll. « Studies in Logic and the Foundations of Mathematics » (no 76),‎ 1974 (ISBN 978-0-444-10535-6)
  • (en) Paul Erdős et András Hajnal (en), « Some remarks concerning our paper "On the structure of set-mappings". Non-existence of a two-valued σ-measure for the first uncountable inaccessible cardinal », Acta Math. Hungar., vol. 13,‎ 1962, p. 223–226 (ISSN 0001-5954, DOI 10.1007/BF02033641)
  • (en) Akihiro Kanamori, The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings, Berlin, Springer,‎ 2003, 2e éd. (ISBN 978-3-540-00384-7)