Calcul du volume de l'hypersphère

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La démonstration suivante pour le calcul du volume de l'hypersphère dépend des définitions précises de la sphère et de la boule. Le volume intérieur d'une sphère est le volume de la boule délimitée par la sphère.

Calcul[modifier | modifier le code]

Nous intégrerons en coordonnées cartésiennes orthonormales dans l'espace euclidien.

Formule de récurrence[modifier | modifier le code]

Notons V^{(n)}[r] le volume de la boule de rayon r en dimension n ≥ 1. Alors

V^{(1)}[r]=2r

parce que c'est la longueur d'un segment deux fois plus long que le rayon, i.e.

\{x\in\mathbb R:|x|\le r\}=[-r,r].

La sphère de dimension 0 qui borde cette boule est constituée des deux points r et –r.

Pour tout n ≥ 1 nous avons (d'après le théorème de Fubini)[1] :

V^{(n+1)}[r] = \int_{-r}^r V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-x^2}\,\right]~{\rm d}x.

Le volume est proportionnel à la n-ième puissance du rayon[modifier | modifier le code]

Nous montrerons premièrement par récurrence sur n que le volume d'une n-boule est proportionnel à la n-ième puissance de son rayon. Nous avons déjà observé que c'est vrai en dimension 1. Supposons maintenant que ce soit vrai en dimension n, i.e. :

V^{(n)}[r] = r^nV^{(n)}[1].

Alors,

\begin{align}V^{(n+1)}[r]&=\int_{-r}^r V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-x^2}\,\right]~{\rm d}x\\
&= r \int_{-1}^1 V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-(rx)^2}\,\right]~{\rm d}x\\
&= r \int_{-1}^1 V^{(n)}\left[r\sqrt{(1-x^2)}\,\right]~{\rm d}x\\
&=r \int_{-1}^1 r^n V^{(n)}\left[\sqrt{(1-x^2)}\,\right]~{\rm d}x\\
&= r^{n+1}V^{(n+1)}[1].\end{align}

Nous avons établi que pour tout n ≥ 1, le volume d'une n-boule est proportionnel à la n-ième puissance de son rayon ; c'est-à-dire que si nous notons V^{(n)}[1] le volume de la n-boule unitaire, nous avons :

V^{(n)}[r] = r^nV^{(n)}[1],
V^{(n+1)}[1] = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x^2}\,\right)^nV^{(n)}[1]~{\rm d}x= V^{(n)}[1]\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x^2}\,\right)^n~{\rm d}x.

Deux ou trois dimensions[modifier | modifier le code]

Dans le cas de V^{(2)}[1] nous avons[2] :

V^{(2)}[1] = V^{(1)}[1]\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}~{\rm d}x = 2\left.\frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x} 2 \right|_{x=-1}^1 = \pi,

qui est « l'aire intérieure du cercle unité », ou plus exactement, l'aire du disque borné par ce cercle. On en déduit facilement :

V^{(3)}[1] = V^{(2)}[1] \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)~{\rm d}x = \frac43\pi.

Ceci est « le volume intérieur de la sphère unité », ou plus exactement, le volume de la boule délimitée par cette sphére.

Cas général[modifier | modifier le code]

Essayons maintenant de généraliser cette démonstration au cas de la boule en dimension supérieure :

V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)^{n/2}~{\rm d}x
= V^{(n)}[1] \cdot 2\int_0^1 \left(1-x^2\right)^{n/2}~{\rm d}x.

Voici un graphe de la fonction que nous avons intégrée ici, pour rendre plus facile la visualisation de cette fonction dans plusieurs dimensions :

Hyperball.png

Les hyperboules se pincent de plus en plus comme la dimension croît. (Plus précisément, puisque nous intégrons en coordonnées rectangulaires, et que les boîtes rectangulaires circonscrites aux boules s'étendent de plus en plus hors des boules comme la dimension croît, les boules nous paraissent de plus en plus pincées au point de vue des coordonnées dans lesquelles nous intégrons.)

Par le changement de variables u = 1 - x^2 nous avons :

x=\sqrt{1-u} \qquad\text{et}\qquad{\rm d}x = \frac{-{\rm d}u}{2\sqrt{1-u}}
V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1]~2\int_0^1 \left(1-x^2\right)^{n/2}~{\rm d}x
     = V^{(n)}[1] \int_0^1 u^{n/2}(1-u)^{-1/2}~{\rm d}u.

L'intégrale à droite est connue comme la fonction bêta :

V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1]~\mathrm B\left(\frac n 2 + 1, \frac 1 2 \right),

qui peut être exprimée au moyen de la fonction gamma :

V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \frac
   {\Gamma\left(\frac n 2 + 1\right)\Gamma\left( \frac 1 2 \right)}
   {\Gamma\left(\frac n 2 + \frac 3 2\right)}.

À partir de la relation \Gamma\left(\frac 1 2\right) = \sqrt \pi, nous pouvons facilement vérifier par récurrence que pour tout n ≥ 1,

V^{(n)}[1] = \frac {\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}.

Forme générale du volume et aire de l'hypersphère[modifier | modifier le code]

Par « désintégration de mesure »[3], l'aire de l'hypersphère de dimension n – 1 est la dérivée, par rapport à son rayon, du volume de la boule de dimension n qu'elle borde.

Puisque le volume de la boule de dimension n est

V^{(n)}[r] = \frac {\pi^{n/2} r^n}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)},

alors l'aire de l'hypersphère de dimension n – 1 qui la borde est

S^{(n-1)}[r] = \frac \partial{\partial r} V^{(n)}[r] = \frac {\pi^{n/2} nr^{n-1}}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}
                    = \frac {2\pi^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma\left( \frac n 2 \right)}.

Récurrence d'ordre 2[modifier | modifier le code]

À partir de la récurrence d'ordre 1

V^{(n+1)}[1]=V^{(n)}[1]~\mathrm B\left(\frac n2 +1,\frac12\right),~

utilisée plus haut directement pour exprimer V(n) en termes de la fonction gamma, une alternative est d'écrire une récurrence d'ordre 2 :

V^{(n)}[1]=V^{(n-2)}[1]~\mathrm B\left(\frac{n+1}2,\frac12\right)\mathrm B\left(\frac n2,\frac12\right)~

qui, d'après les propriétés de la fonction bêta, se simplifie en :

V^{(n)}[1]=\frac{2\pi}n~V^{(n-2)}[1].

Par récurrence (en séparant les cas n pair et impair), on retrouve alors la formule donnée précédemment, qui peut aussi s'écrire :

V^{(n)}[1]=\begin{cases}\prod_{k=0}^{{\frac n2}-1}{2\pi\over n-2k}&\mbox{si }n\mbox{ est pair,}\\{\frac1\pi}\prod_{k=0}^{{n-1\over 2}}{2\pi\over n-2k}&\mbox{si }n\mbox{ est impair.}\end{cases}

Par ailleurs, une manière plus directe[4] de démontrer cette formule de récurrence d'ordre 2 est de procéder comme pour celle d'ordre 1 :

V^{(n)}[1]=\int_{x^2+y^2\le1}V^{(n-2)}[\sqrt{1-x^2-y^2}]~\mathrm dx\mathrm dy=V^{(n-2)}[1]\int_{x^2+y^2\le1}(1-x^2-y^2)^{(n-2)/2}~\mathrm dx\mathrm dy=\frac{2\pi}n~V^{(n-2)}[1],

la dernière égalité venant du passage en coordonnées polaires :

\int_{x^2+y^2\le1}(1-x^2-y^2)^{(n-2)/2}~\mathrm dx\mathrm dy=2\pi\int_0^1(1-r^2)^{(n-2)/2}~r~\mathrm dr=\pi\int_0^1u^{(n/2)-1}~\mathrm du=\frac{2\pi}n.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Cette méthode d'intégration peut être généralisée aux espaces Lp (ce qui précède correspond au cas p = 2). En effet, nous avons une relation de récurrence pour la boule unité de \ell^p_n,

V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \int_{-1}^1 \big(1 - |x|^p \big)^{n/p}~{\rm d}x,

de laquelle on peut retrouver la formule

V^{(n)}[r] = \frac
   {\left[ 2\, \Gamma\left(\frac 1 p + 1\right) r \right]^n}
   {\Gamma \left(\frac n p + 1 \right)}

pour le volume de la boule de rayon r dans \ell^p_n, la mesure de volume étant, comme auparavant, celle de Lebesgue en coordonnées orthonormales. Il n'est plus possible de calculer l'aire de la surface comme la dérivée du volume par rapport au rayon parce que le rayon n'est plus partout normal à la surface.

Cette généralisation a des applications en théorie de l'information, en particulier pour le codage de l'information.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) A. E. Lawrence, The volume of an n-dimensional hypersphere, Université de Loughborough.
  2. (en) Samuel M. Selby, éditeur. Standard Mathematical Tables, 18e édition, The Chemical Rubber Co., Cleveland, Ohio, 1970.
  3. (en) D. Leao Jr. et al. Regular conditional probability, disintegration of probability and Radon spaces. Proyecciones. Vol. 23, No. 1, pp. 15–29, May 2004, Universidad Católica del Norte, Antofagasta, Chile PDF
  4. François Laudenbach, Calcul différentiel et intégral, Éditions École Polytechnique, 2000 (ISBN 978-2-73020724-9), p. 176

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Deriving the volume of an n-ball » (voir la liste des auteurs)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]