Calcul de vis d'assemblage

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Une vis d'assemblage sert à effectuer un serrage, également appelé « flux bouclé[1] » ; du fait de cet effort de serrage, plusieurs sollicitations apparaissent dans le système vis-écrou. La forme de la vis et le filetage apportent de plus des concentrations de contraintes. Ainsi on doit prendre en compte le risque de ruine de la vis, qui peut soit casser ou simplement se déformer.

Cas à étudier pour une vis d'assemblage
Situation Mode de ruine et nature de la sollicitation
Section sous tête, noyau arrachement des filets (cisaillement), rupture de la vis (traction)
Surface d'appui Compression, matage
Sollicitations cycliques Fatigue

Notons que les vis sont utilisées dans d'autres cas que pour l'assemblage. Ces situations ne sont pas étudiées dans le présent article, mais le tableau ci-dessous présente quelques aspects à prendre en compte.

Cas à étudier pour les autres utilisations de vis
Situation Mode de ruine et nature de la sollicitation
Vis de pression Cisaillement des filets : nombre de filets en prise en fonction du matériau

Compression
Flambage : vis de pression trop longues

Vis d'arrêt Cisaillement transversal : noyau ou section cisaillé
Sollicitations cycliques Fatigue

Voir aussi le dossier Déformation élastique

Prétension et couple de serrage[modifier | modifier le code]

Clef dynamométrique pour le contrôle du serrage

Lors de la mise en place d'une vis d'assemblage, il est primordial d'appliquer une prétension adaptée. Cette prétension permet de tenir les éléments en contact, et de compenser les efforts additionnels éventuels dus à des chocs, des vibrations, la pression, les sources de dilatation ou contraction — variations thermiques ou hygrométriques —, …

Pour les utilisations courantes, cela a peu d'importance. Mais lorsqu'il s'agit d'un assemblage étanche ou de sécurité, il faut maîtriser l'effort appliqué :

  • trop faible, le système risque de présenter des fuites ou de se desserrer ;
  • trop fort, on risque de détériorer les pièces, par exemple écraser le joint ce qui provoquera des fuites, ou bien de casser la vis.

La manière la plus simple d'avoir une prétension adaptée est de maîtriser le couple exercé sur la vis ou l'écrou : le couple de serrage. L'utilisation d'une clé dynamométrique est alors recommandée pour garantir la qualité du serrage.

Lors de la mise en charge (serrage pour avoir une force de précontrainte Ft), l'ensemble subit une déformation élastique : la vis s'allonge d'une quantité ΔLv et la pièce s'écrase d'une quantité -ΔLp.

Cependant, si cette méthode est simple à mettre en œuvre, on constate dans la pratique une grande dispersion dans la prétension réellement appliquée. Lorsque l'on désire maîtriser de manière plus précise la prétension, par exemple dans l'industrie nucléaire, on peut utiliser les méthodes suivantes :

  • mettre la vis en traction avec une force donnée, visser l'écrou pour venir au contact sans jeu, puis relâcher la traction sur la vis ;
  • chauffer la vis pour créer de la dilatation, visser l'écrou pour venir au contact sans jeu, puis laisser la vis reprendre ses dimensions en refroidissant ;
  • mesurer la déformation élastique de la vis (torsion ou élongation) pour en déduire les efforts réels (respectivement couple de serrage et prétension).

Dans les trois cas, on élimine l'indétermination due à la dispersion des facteurs de frottement. Cependant, pour les deux premiers cas, cela nécessite d'estimer la partie de l'effort qui sert à déformer élastiquement les pièces à lier.

En pratique, pour des vis « métal » à filetage ISO, les règles de bonne pratique généralement admises sont :

  • le concepteur détermine l'effort presseur que doit exercer sa vis ; il en déduit la résistance que doit avoir sa vis, ce qui détermine son diamètre d et la classe de qualité du métal[2] ;
  • pour éviter le matage, dans le cas de forts couples de serrage (vis de qualité élevée), on répartit l'effort en utilisant des rondelles sous la tête de vis et sous l'écrou, ou bien des vis et écrous à embase tronconique (« H embase ») ;
  • pour éviter l'arrachement des filets,
    • dans le cas d'un boulon, l'écrou doit avoir la même classe que la vis : écrou classe 4 pour une vis classe 4.6 ou 4.8, écrou classe 10 pour une vis classe 10.9, … ;
    • dans le cas d'un trou taraudé, la longueur engagée le de la vis doit être au minimum égale
      • au diamètre nominal d pour un taraudage dans un métal « dur » (acier),
      • à 1,5×d pour un taraudage dans un métal tendre (alliage d'aluminium) ;
  • le concepteur détermine ensuite le couple de serrage,
    • soit à partir de l'effort minimum à appliquer pour assurer la fonction (cas d'un joint dont on veut éviter l'écrasement),
    • soit à partir de l'effort maximum que peut supporter la vis (cas général).

Les fabricants donnent des tables d'application pour les vis et raccords les plus courants. Il s'agit cependant de la valeur limite à adopter avant endommagement de la vis. Il faut s'assurer que cela est supportable pour les éléments assemblés. Ce moyen est rapide et suffit dans la plupart des cas. Il faut bien prendre en compte de l'état de surface et de lubrification du couple vis-écrou.

Pour certaines applications, comme par exemple le serrage d'une culasse de moteur thermique, il faut établir le serrage par paliers, souvent deux : un préserrage puis une mise définitive au couple.

Notons que pour des goujons, les longueurs d'engagement sont de 1,5×d pour un matériau dur et 2×d pour un matériau tendre.

Couples de serrage maximum admissibles (Nm)[3]
d
(mm)
Classe de qualité
3.6 4.6 8.8 10.9 14.9
M3 0,38 0,46 1,23 1,74 2,43
M4 0,93 1,12 3 4,21 5,9
M5 1,81 2,17 5,79 8,15 11,4
M6 3,12 3,74 9,99 14 19,6
M8 7,43 8,92 23,7 33,4 46,8
M10 14,9 17,9 47,7 67,2 94,1
M12 25,3 30,4 81,1 114,1 159,8
M16 61,2 73,4 195,9 275,6 385,8
M20 119 143,2 382 537,1 752
Efforts presseurs maximum admissibles (kN)[4]
d
(mm)
Classe de qualité
3.6 4.6 8.8 10.9 14.9
M3 0,679 0,906 2,41 3,40 4,75
M4 1,19 1,58 4,21 5,93 8,30
M5 1,91 2,55 6,81 9,57 13,4
M6 2,72 3,62 9,66 13,6 19,0
M8 4,94 6,59 17,6 24,7 34,6
M10 7,83 10,4 27,8 39,1 54,8
M12 11,4 15,2 40,5 56,9 79,6
M16 21,2 28,2 75,2 105,8 148
M20 33,1 44,1 118 165 231

Méthodes conventionnelles de détermination du couple de serrage[modifier | modifier le code]

Formule de Kellermann et Klein[modifier | modifier le code]

Kellermann et Klein[5] ont établi des formules semi-empirique qui relient le couple de serrage C à la précontrainte Ft dans une vis, et qui ont servi de base à différentes normes :

formule finale de Kellermann et Klein[6] : C = Ft·(0,161·P + 0,583·µt·d2 + 0,25·µh(Dext + Dint))
norme ISO 16047 : \mathrm{C} = \mathrm{F_t} \cdot \left ( \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{P} + 1,154 \cdot \pi \cdot \mu_\mathrm{t} \cdot d_2}{\pi - 1,154 \cdot \mu_\mathrm{t} \cdot \frac{\mathrm{P}}{d_2}} + \mu_\mathrm{h} \cdot \frac{\mathrm{D_{ext}} + \mathrm{D_{int}}}{4} \right )
forme de Motosh (1976)[7] : \mathrm{C} = \mathrm{F_t} \cdot \left ( \frac{\mathrm{P}}{2 \pi} + \frac{\mu_\mathrm{t} \cdot r_2}{\cos \theta} + \mu_\mathrm{h} \cdot r_\mathrm{h} \right )
DIN 946 : \mathrm{C} = \mathrm{F_t} \cdot \left ( 0,159 \cdot \mathrm{P} + 0,578 \cdot \mu_\mathrm{t} \cdot d_2 + \mu_\mathrm{h} \cdot \frac{\mathrm{D_h}}{2} \right )

avec

  • Ft : tension de la vis (ou précontrainte) en kN ;
  • C : couple de serrage en Nm;
  • P : pas de la vis ;
  • Rh : rayon moyen sous tête (head) en mm ; Rh = (Dext + Dint)/4, avec
    • Dext : diamètre extérieur de la tête de vis en mm,
    • Dint : diamètre intérieur de la tête de vis en mm;
  • Dh : diamètre moyen sous tête en mm, Dh = 2Rh ;
  • μh : coefficient de frottement sous tête ;
  • r2 : rayon moyen du filetage, rayon sur flancs en mm;
  • d2 : diamètre moyen du filetage, diamètre sur flancs en mm (Flankendurchmesser en allemand) ;
  • μt : coefficient de frottement du filetage (thread).

Notons que ces formes sont grosso modo équivalentes :

  • pour un filetage ISO, θ = 30° donc 1/cos θ ≈ 1,154 et 1/(2cos θ) ≈ 0,578 ; donc
    P/2/π + μtr2/cos θ ≈ 0,159 + 0,578 μtd2 ;
  • dans la pratique, µt ≤ 0,25 et P << d2, donc
    1,154·µt·P/d2 << π et ainsi
    \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{P} + 1,154 \cdot \pi \cdot \mu_\mathrm{t} \cdot d_2}{\pi - 1,154 \cdot \mu_\mathrm{t} \cdot \frac{\mathrm{P}}{d_2}} \simeq \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{P} + 1,154 \cdot \pi \cdot \mu_\mathrm{t} \cdot d_2}{\pi} = \frac{\mathrm{P}}{2 \pi} + 1,154 \cdot \frac{\mu_\mathrm{t} d_2}{2}
= 0,159\cdot \mathrm{P} + 0,577 \cdot \mu_\mathrm{t} d_2.

Dans leur publication, Kellermann et Klein proposent de compenser l'élimination du membre 1,154·µt·P/d2 par une augmentation de 1 % des coefficients 1,154 et 0,578, ce qui donne les coefficients 0,161 et 0,583.

Du développement de la publication de Kellermann et Klein, on peut extraire une forme plus fondamentale :

 \mathrm{C} = \mathrm{F_t} \cdot \left (\mathrm{K } \cdot r_2 + \mu_\mathrm{h} \cdot \mathrm{R_h} \right )

où K est défini par :

\mathrm{K} = \tan(\alpha + \varphi'_\mathrm{t})
= \frac{1}{\tan \alpha} \cdot \frac{\tan \alpha + \tan \varphi'}{\frac{1}{\tan \alpha} - \tan \varphi'}
= \frac{1}{\tan \alpha} \cdot \frac{\tan \alpha + \mu'_\mathrm{t}}{\frac{1}{\tan \alpha} - \mu'_\mathrm{t}}
\mu'_\mathrm{t} = \frac{\mu_\mathrm{t}}{\cos \alpha \cos \theta} \simeq \frac{\mu_\mathrm{t}}{\cos \theta}

avec

  • µ't = tan φ't : coefficient de frottement apparent ;
  • θ : angle de filet ;
  • α : angle d'hélice au niveau de la ligne de contact supposée du filetage, lié au pas par la formule géométrique :
    \tan(\alpha) = \frac{\mathrm{P}}{2\pi r_2} = \frac{\mathrm{P}}{\pi d_2}.

On obtient ainsi la forme de Motosh :

 \mathrm{C} = \mathrm{F_t} \cdot \left ( \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{P} + \frac{\pi \cdot \mu_\mathrm{t}\cdot d_2}{\cos \theta}}{\pi - \frac{\mu_\mathrm{t} \cdot \mathrm{P}}{\cos \theta \cdot d_2}} + \mu_\mathrm{h} \cdot \mathrm{R_h} \right )
\simeq \mathrm{F_t} \cdot \left ( \frac{\mathrm{P}}{2\pi} + \frac{\mu_\mathrm{t} \cdot r_2}{\cos \theta} + \mu_\mathrm{h} \cdot \mathrm{R_h} \right )

Cette formule plus fondamentale permet par exemple d'évaluer l'intérêt d'utiliser un filet trapézoïdal standard (θ = 15 °) ou même un filet carré (θ = 0) : une application numérique montre que diminuer l'angle θ permet, par exemple, de diminuer le couple nécessaire pour créer un effort axial souhaité.

Notons que l'on peut aussi exprimer la formule dans l'autre sens :

\mathrm{F_t} =
\frac{\mathrm{C}}{0,161 \cdot \mathrm{P} + 0,583 \cdot d_2 \cdot \mu_\mathrm{t} + \mu_\mathrm{h} \cdot \mathrm{R_h}}

Détermination simplifiée[modifier | modifier le code]

Aux États Unis, les ingénieurs utilisent souvent une relation simplifiée entre le couple de serrage et la prétension[8],[9] :

C = K×D×Ft

ou K est le « facteur d'écrou » (nut factor) et D le diamètre de l'écrou. Le facteur K est établi par des essais. Cette approximation considère que le facteur K est indépendant du diamètre, et que l'on peut assimiler tous les diamètres (diamètre sur flanc, diamètre intérieur de l'écrou, …) au diamètre nomminal. Une valeur donnée de K n'est valable que pour une gamme restreinte de vis ; K varie de l'ordre de 300 % si l'on considère toute la gamme de vis.

Coupe de situation

Dans des cas simples, on peut appliquer la méthode suivante.

Lors de la mise en tension de la vis, trois éléments constituent le couple de serrage :

  1. Le frottement du filetage
  2. Le frottement de la tête de vis (ou de l'écrou)
  3. La réaction à la tension induite par l'inclinaison du pas.

Nous ne tiendrons pas compte de la torsion de la partie filetée non en prise, de l'étirement différentiel le long du filetage en prise, …

Formules :

  1. M1 = Tension × µ × Ømoyen filetage
  2. M2 = Tension × µ × Ømoyen appui
  3. M3 = Tension × Ømoyen filetage × tan(α)
  4. Couple de serrage = (M1 + M2 + M3)/2

avec :

  • Tension : effort à compenser pour une vis (en prenant tout en compte) ;
  • Ømoyen appui : diamètre moyen la surface frottante ;
  • α = angle du pas, soit arctan(P/(π×Øextérieur vis)) ;
  • Ømoyen filetage = diamètre moyen du filetage (et pas le diamètre sur flanc) = (Øextérieur vis + Øintérieur écrou)/2 ;
  • µ = coefficient de frottement (pour chaque surface) pour lequel il est admis :
Coefficients de frottement acier/acier
µ Conditions
µ = 0,10 Lubrification adaptée et état de surface propre
µ = 0,15 Lubrification sommaire
µ = 0,20 Montage à sec

Méthode VDI 2230[modifier | modifier le code]

Choix de la vis[modifier | modifier le code]

La recommandation VDI 2230 de l'Association des ingénieurs allemands (Verein Deutscher Ingenieure) utilise un tableau. La détermination se fait en quatre étapes :

  1. On détermine l'effort auquel doit être soumis l'assemblage. Dans la première colonne du tableau, on choisit l'effort immédiatement supérieur.
  2. Selon la manière dont est appliqué l'effort, on reste sur cette ligne — effort statique appliqué dans l'axe des vis — ou bien on descend de 1 à 4 lignes — 4 lignes dans le cas d'un effort transversal, tendant à faire glisser les pièces l'une par rapport à l'autre.
  3. Selon la manière dont est effectué le serrage, on reste sur cette ligne — cas où l'on contrôle le serrage par la déformation élastique de la vis à l'aide d'un dispositif électronique —, ou bien on descend de 1 ligne — serrage avec une clef dynamométrique — ou de 2 lignes — serrage avec une visseuse munie d'un limiteur de couple.
  4. La ligne ainsi définie donne les couples qualité de l'acier/diamètre nominal de la vis possibles.
Choix de la vis selon VDI 2230
Charge
(N)
Diamètre nominal (filetage ISO)
Classe de qualité de l'acier
12.9 10.9 8.8
250
400
630
1 000 M3 M3 M3
1 600 M3 M3 M3
2 500 M3 M3 M4
4 000 M4 M4 M5
6 300 M4 M5 M6
10 000 M5 M6 M8
16 000 M6 M8 M10
25 000 M8 M10 M12
40 000 M10 M12 M14
63 000 M12 M14 M16
100 000 M16 M18 M20
160 000 M20 M22 M24
250 000 M24 M27 M30
400 000 M30 M33 M36
630 000 M36 M39

Par exemple, un serrage doit empêcher deux plaques de glisser tangentiellement, sous un effort constant de 20 000 N :

  1. La valeur immédiatement supérieure est 25 000 N.
  2. C'est un effort transversal, il faut donc descendre de quatre lignes. L'effort presseur minimum est donc de 160 000 N.
  3. Le serrage sera effectué avec une clef dynamométrique. Il faut donc descendre d'une ligne, l'effort presseur maximum sera de 250 000 N, ce qui garantit, avec les différentes sources de dispersion, que l'on aura au moins un effort de 160 000 N.
  4. Les vis utilisables sont : M24 en qualité 12.9, M27 en qualité 10.9, ou M30 en qualité 8.8.

On remarque que, dans ce tableau, les charges suivent une suite géométrique de raison 1,6. Lorsque l'on descend d'une ligne, on ajoute donc 60 % à la valeur. La méthode VDI 2230 revient à estimer que :

  • un effort alterné équivaut à un effort statique 60 % plus élevé ; la limite d'endurance à la fatigue d'un acier vaut 1/1,6 = 62,5 % de la limite élastique ;
  • un effort normal excentré est équivalent à un effort normal centré 60 % supérieur ; le rapport des bras de levier est de 1,6 en faver de l'effort excentré ;
  • un effort tangentiel est équivalent à un effort normal centré 1,64 = 6,55 fois supérieur ; le coefficient d'adhérence vaut μ = 0,15 ;
  • une clef dynamométrique a une précision de 60 % de la valeur nominale, et un limiteur de couple de visseuse une précision de 156 %.

Coefficient de serrage[modifier | modifier le code]

D'après la formule de Kellermann et Klein, on voit que, pour un montage donné — triplet {diamètre, matériaux, lubrification} —, le couple de serrage et la précontrainte sont proportionnels ; graphiquement, la courbe représentative de Ft = ƒ(C) est une droite passant par 0. Le coefficient de proportionnalité — la pente de la droite — est appelé facteur de conversion X,

C = X·Ft

et ce facteur dépend du pas P, des diamètres de la vis (diamètre sur flanc d2, diamètre moyen sous tête dh) et des coefficients de frottement μh et μt.

Les plus grandes sources d'erreur sont la valeur des coefficients de frottement et l'erreur de l'estimation du couple (erreur de mesure). Il faut donc majorer le couple visé, afin d'être sûr d'avoir le couple minimal requis, et donc la prétention minimale requise. On multiplie pour cela la valeur minimale par un coefficient de serrage αA, qui varie typiquement entre

  • αA = 1,2 pour un serrage maîtrisant la déformation élastique de la vis, ce qui permet de s'affranchir du frottement : mise en prétention de la vis par traction, élongation par chauffage, mesure de la déformation élastique de la vis au serrage ;
    et
  • αA = 4, pour un serrage avec une boulonneuse à chocs et à impulsion, le couple étant déterminé par le limiteur de couple de la boulonneuse.

Pour un serrage au couple avec une clef dynamométrique, on a typiquement un coefficient entre 1,6 et 2,5.

On peut diminuer ce coefficient en effectuant des essais pour déterminer avec précision le rapport entre la valeur mesurée du couple de serrage et la valeur réelle de la précontrainte.

Détermination du couple de serrage admissible[modifier | modifier le code]

La recommandation VDI 2230 donne des valeurs maximales admissibles pour les couple de serrage et prétension, sous forme de tableaux similaires aux tableaux précédents (voir les tableaux Couples de serrage maximum admissibles (Nm) et Efforts presseurs maximum admissibles (N)). On se place à 90 % de la limite élastique (0,9×Rp 0,2) : le fait d'utiliser un coefficient de serrage permet de prendre une marge de sécurité plus réduite sur la valeur de la limite élastique.

Par ailleurs, le tableau distingue différents coefficients d'adhérence, pour des états de surface, traitements de surface et lubrification différents, mais estime que μh = μt. Il fournit également les facteurs de conversion X, ce qui permet de calculer facilement les couples de serrage minimum en fonction de la prétension.

Précontrainte maximale (kN) selon VDI 2230 (extrait)
d
(mm)
μ Classe de qualité
3.6 4.6 5.6/4.8 6.8 8.8 10.9 12.9
M1,6 0,10 0,176 0,335 0,294 0,470 0,627 0,882 1,058
0,12 0,171 0,228 0,285 0,455 0,607 0,854 1,025
0,14 0,165 0,220 0,275 0,441 0,588 0,826 0,992
M10 0,10 8,4 11,3 14,1 22,5 30,3 44,5 52,1
0,12 8,2 11,0 13,7 21,9 29,6 43,4 50,8
0,14 8,0 10,7 13,3 21,3 28,8 42,2 49,4
M20 0,10 36,2 48,3 60,3 96,5 134 190 223
0,12 35,3 47,0 58,8 94,1 130 186 217
0,14 34,3 45,8 57,2 91,6 127 181 212
M30 0,10 83,2 111,0 138,7 222,0 307 437 511
0,12 81,2 108,3 135,3 216,5 300 427 499
0,14 79,0 105,3 131,7 210,8 292 416 487
M39 0,10 145,9 194,5 243,1 389,0 537 765 895
0,12 142,4 189,9 237,4 379,8 525 748 875
0,14 138,8 185,0 231,3 370,0 512 729 853
Couple de serrage maximal (Nm) selon VDI 2230 (extrait)
d
(mm)
μ Classe de qualité X
3.6 4.6 5.6/4.8 6.8 8.8 10.9 12.9
M1,6 0,10 0,042 0,057 0,071 0,113 0,151 0,212 0,255 0,24
0,12 0,047 0,063 0,079 0,126 0,169 0,237 0,285 0,28
0,14 0,052 0,069 0,087 0,139 0,185 0,260 0,312 0,32
M10 0,10 12 16,1 20,1 32,3 43 63 73 1,42
0,12 13,7 18,3 22,9 36,5 48 71 83 1,65
0,14 15,2 20,3 25,3 40,6 54 79 93 1,89
M20 0,10 98 131 164 262 363 517 605 2,71
0,12 112 150 187 300 415 592 692 3,18
0,14 125 167 209 334 464 661 773 3,65
M30 0,10 338 450 563 901 1 246 1 775 2 077 4,06
0,12 386 515 644 1 031 1 420 2 033 2 380 4,76
0,14 431 575 719 1 151 1 597 2 274 2 662 5,46
M39 0,10 758 1 011 1 264 2 022 2 791 3 975 4 652 5,20
0,12 870 1 160 1 450 2 321 3 208 4 569 5 346 6,11
0,14 974 1 299 1 624 2 598 3 597 5 123 5 994 7,02

Étude mécanique[modifier | modifier le code]

L'assemblage vissé est un problème complexe, mais les éléments de base pour l'aborder sont relativement simples :

Fonction de la vis[modifier | modifier le code]

Le calcul doit se faire en fonction d'un cahier des charges ; il s'agit de faire un choix ou de valider une solution — une vis — en fonction de son utilisation.

La vis d'assemblage sert à effectuer un serrage, c'est-à-dire à maintenir deux pièces en position par adhérence. Nous excluons le cas des vis épaulées, qui assurent aussi une mise en position, voire servent d'axe de rotation, et l'utilisation des vis en aménagement d'intérieur (suspension d'objets).

Du point de vue de l'utilisateur, l'important est la force normale entre les pièces à lier, force exercée par l'ensemble vis/trou taraudé ou vis/écrou (boulon), notée Ft. Du point de vue du monteur, l'important est la force à laquelle il doit serrer : le couple de serrage, noté C. Tout ceci doit être déterminé par le concepteur, qui choisit une vis en fonction de sa résistance mécanique.

Maintien en position par adhérence[modifier | modifier le code]

La vis exerce un effort presseur qui crée l'adhérence entre les pièces à assembler.

Le maintien en position (MaP) par adhérence consiste à presser deux pièces l'une contre l'autre. Cet effort presseur est ici créé par une vis (et en général relayé par une rondelle).

Considérons une pièce liée à un support (pièce du bas dans le schéma ci-contre). La pièce est soumise à une action extérieure représentée par la force \vec{\mathrm{F}}_1. La vis exerce un effort presseur \vec{\mathrm{F}}_2. Le support exerce une action \vec{\mathrm{F}}_3 sur la pièce. La condition d'adhérence — de non-glissement de la pièce sur le support — peut s'exprimer de deux manières :

  • géométrique : \vec{\mathrm{F}}_3 doit être à l'intérieur du cône d'adhérence, de demi-angle au sommet φa, où φa est l'angle d'adhérence ;
  • analytique : \vec{\mathrm{F}}_3 se décompose en une composante normale \vec{\mathrm{N}} et tangentielle \vec{\mathrm{T}}, et l'on doit avoir
    \| \vec{\mathrm{T}} \| \leqslant \mu_\mathrm{a} \times \| \vec{\mathrm{N}} \|
    où μa est le coefficient d'adhérence entre les pièces à assembler ;

avec la relation

μa = tan(φa).

Les coefficients μa et φa dépendent essentiellement de la nature des matériaux en contact et de l'état de lubrification.

Valeurs typiques de coefficients d'adhérence
Couple de matériaux Non lubrifié Lubrifié
μa φa (°) μa φa (°)
Bois/bois 0,65 33,0 0,2 11,3
Métal/bois 0,5-0,6 26,6-31,0 0,1 5,71
Acier/fonte 0,19 10,8 0,1 5,71
Acier/acier 0,18 10,2 0,12 6,84
Acier/bronze 0,11 6,28 0,1 5,71
Article détaillé : Loi de Coulomb (mécanique).

L'action extérieure F1 est le « cahier des charges » : la liaison doit supporter un effort donné. Il faut donc choisir l'effort presseur F2 adapté. Dans le cas présent, la détermination est simple :

F2 = F1a.

Mais cet effort presseur est la plupart du temps assuré par plusieurs vis ; il faut donc savoir comment se répartit cet effort.

Si le système est symétrique, on peut faire dans un premier temps l'hypothèse que l'effort est uniformément réparti : si l'on prévoit d'implanter n vis, alors chaque vis doit exercer un effort

Ft = F2/n.

Si la pièce subit un moment de basculement (par exemple est en porte-à-faux), on peut supposer que l'effort varie de manière linéaire, et l'on dimensionne donc pour la vis la plus sollicitée. Dans les cas plus complexes, il faut avoir recours à un calcul par éléments finis ; on peut par exemple modéliser les vis par de simples poutres (éléments linéïques) pour connaître la sollicitation de chacune.

Géométrie de la vis[modifier | modifier le code]

Développement de l'hélice : relation entre l'angle, le diamètre et le pas de l'hélice.
Principales cotes d'un filetage ISO.

Le filetage et le taraudage ont des formes hélicoïdales. Si l'on considère une hélice d'axe vertical de diamètre d2 et de pas p, l'angle que fait la tangente avec l'horizontale vaut :

\alpha = \mathrm{arctan} \left ( \frac{p}{\pi d_2} \right ).

Si l'angle est faible, ce qui est le cas pour les vis, alors on a en radians

\alpha \simeq \frac{p}{\pi d_2}.

Le diamètre d2 à prendre en compte est le « diamètre sur flanc », c'est-à-dire celui de la « fibre neutre ». Dans le cas du profil métrique ISO, le profil du filet est grosso modo un triangle équilatéral, le rapport entre le pas p et la hauteur H du profil est donc de √3/2, soit H ≈ 0,866×p. On laisse 1/8H de jeu entre la pointe extérieure du profil et l'extrémité réelle du filet de la vis, soit

d_2 = d + 2 \times \left ( \frac{\mathrm{H}}{8} - \frac{\mathrm{H}}{2} \right ) = d - \frac{3}{4}\mathrm{H} = d - \frac{3\sqrt{3}}{8}p
d2 = d - 0,649 5×p.

d est le diamètre nominal de la vis (diamètre extérieur du filet de la vis).

Angles des filetages pour les vis ISO à pas gros
d
(mm)
p
(mm)
d2
(mm)
α
(°)
d
(mm)
p
(mm)
d2
(mm)
α
(°)
M3 0,5 2,675 3,04 M10 1,5 9,026 2,73
M4 0,7 3,545 3,19 M12 1,75 10,863 2,66
M5 0,8 4,480 2,92 M16 2 14,701 2,28
M6 1 5,350 3,04 M20 2,5 20,376 2,28
M8 1,25 7,188 2,85
Angles des filetages pour les vis ISO à pas fin
d
(mm)
p
(mm)
d2
(mm)
α
(°)
d
(mm)
p
(mm)
d2
(mm)
α
(°)
M3×0,35 0,35 2,773 2,13 M12×1 1 11,350 1,52
M4×0,5 0,5 3,675 2,28 M12×1,25 1,25 11,188 1,90
M5×0,5 0,5 4,675 1,82 M12×1,5 1,5 11,026 2,28
M6×0,75 0,75 5,513 2,28 M16×1 1 15,350 1,14
M8×0,75 0,75 7,513 1,71 M16×1,5 1,5 15,026 1,71
M8×1 1 7,350 2,28 M20×1 1 19,350 0,912
M10×0,75 0,75 9,513 1,37 M20×1,5 1,5 19,026 1,37
M10×1 1 9,350 1,82 M20×2 2 18,701 1,82
M10×1,25 1,25 9,188 2,28


Dans le cas d'un filetage ISO à pas gros (pas par défaut), on a donc un angle d'hélice compris entre 2,28 et 3,19 °, et un rapport p/d compris entre 12,5 et 17,5 % du diamètre nominal, soit un rapport H/d compris entre 10,8 et 15,2 %.

Résistance de l'assemblage vissé[modifier | modifier le code]

Modes de ruine de l'assemblage vissé.

L'assemblage vissé présente trois modes de ruine (voir figure ci-contre) :

  1. Arrachement du filet du taraudage ou de l'écrou (rupture en cisaillement).
  2. Arrachement du filet de la vis (rupture en cisaillement).
  3. Rupture de la vis (rupture en traction/torsion).
  4. Matage de la pièce sous la tête de vis (non représenté).

Résistance à l'arrachement des filets[modifier | modifier le code]

Dans un premier temps, on peut évaluer le risque d'arrachement des filets.

Lorsque la charge augmente, les filets se déforment plastiquement, et la rupture est constatée sur tous les filets simultanément[10]. On prend donc en compte la totalité de la longueur engagée de la vis dans le taraudage :

  • dans le cas d'un boulon, c'est la hauteur de l'écrou réduite des chanfreins : si un écrou a pour hauteur 0,8×d, la longueur utile Lu vaut 0,6×d ;
  • et dans le cas d'un trou taraudé, c'est l'implantation j.
Deux manières de calculer l'aire cisaillée.

En considérant que la surface cisaillée est un cylindre « ajouré » :

  • côté vis, la rupture a lieu sur la diamètre d1 (extrémité du filet de l'écrou) ; pour une vis ISO, d1 = d - 1,0825×p, la hauteur cisaillée étant les 3/4 de la hauteur totale ;
  • côté écrou ou taraudage, la rupture a lieu sur un cylindre de diamètre d (diamètre nominal) ; pour un filetage ISO, la hauteur cisaillée est les 7/8 de la hauteur totale.

Si la vis est en prise sur une longueur le (longueur engagée), alors les surfaces résistantes des filets ont pour aire :

côté vis : Afv = 3/4×π×d1×le
côté écrou : Afe = 7/8×π×d×le

On peut donner une expression plus générale[11] :

\mathrm{A_{fv}} = \frac{l_\mathrm{e}}{p} \left ( \frac{p}{2} + (d_2 - d_1) \tan \theta\right ) \pi d_1
\mathrm{A_{fe}} = \frac{l_\mathrm{e}}{p} \left ( \frac{p}{2} + (d - d_2) \tan \theta\right ) \pi d

le/p est donc le nombre de tours d'engagement. Pour un filetage ISO, θ = 30 °.

Sections de filetage ISO cisaillées, pas gros
d Afv/le
(mm)
Afe/le
(mm)
d Afv/le
(mm)
Afe/le
(mm)
M3 5,79 8,25 M10 19,74 27,49
M4 7,64 11,00 M12 23,81 32,99
M5 9,74 13,74 M16 32,60 43,98
M6 11,59 16,49 M20 40,75 54,98
M8 15,66 21,99
Sections de filetage ISO cisaillées, pas fin
d Afv/le
(mm)
Afe/le
(mm)
d Afv/le
(mm)
Afe/le
(mm)
M3×0,35 6,18 8,25 M12×1 25,72 32,99
M4×0,5 8,15 11,00 M12×1,25 25,09 32,99
M5×0,5 10,51 13,74 M12×1,5 24,45 32,99
M6×0,75 12,22 16,49 M16×1 35,15 43,98
M8×0,75 16,94 21,99 M16×1,5 33,87 43,98
M8×1 16,30 21,99 M20×1 44,57 54,98
M10×0,75 21,65 27,49 M20×1,5 43,30 54,98
M10×1 21,01 27,49 M20×2 42,02 54,98
M10×1,25 20,37 27,49

On voit que

  • la surface résistante du taraudage est supérieure à la surface résistante de la vis, d'un facteur 1,3 à 1,5 : le diamètre du cylindre est plus important, et la hauteur également ; pour un même matériau, c'est le filetage qui va céder en premier ;
  • un pas fin augmente la section résistante pour la vis, mais ne change rien pour le taraudage ; par contre, le montage d'une vis à pas fin est plus difficile, et l'on a plus de risque d'abimer le filetage.

La résistance au cisaillement de la matière est appelée Reg. La force ultime que l'on peut appliquer vaut alors

Ft = min(Fv, Fe)

avec

  • résistance du filet de la vis : Fv = k×Afv×Reg v ;
  • résistance du filet de l'écrou : Fe = k×Afe×Reg e ;

le coefficient k est un coefficient de sécurité, pris habituellement égal à 0,9 ou à 0,75.

Résistance des matériaux courants
Matériau Reg (MPa) Matériau Reg (MPa)
Alliage d'aluminium
EN AB 21000 (A-U5GT)
100 Fonte
EN GJS 400-15 (FGS 400-15)
192
Alliage d'aluminium
EN AW 2017 (A-U4G)
120 Vis classe 4.6 168
Acier
S235
117 Vis classe 8.8 512
Alliage d'aluminium
EN AW 7075 (A-Z5GU)
220 Vis classe 10.9 720

De manière générale :

  • pour un acier doux (S235, vis de classe 3.6) ou un alliage d'aluminium, Reg = 0,5×Re ;
  • pour un acier mi-dur (vis de classe 4.6 à 6.8), Reg = 0,7×Re ;
  • pour un acier trempé (classe 6.9 et supérieure) ou une fonte : Reg = 0,8×Re.
Article détaillé : Cisaillement.

Dans la pratique, on détermine plutôt la longueur d'implantation le minimale, le nombre de filet minimum qu'il faut engager, pour une force de traction Ft. Plus la vis est implantée, plus la surface cisaillée augmente. On a à la limite :

  • résistance du filet de la vis : Afv = Ft/k/Reg v ;
  • résistance du filet de l'écrou : Afe = Ft/k/Reg e ;

soit

vis : l_\mathrm{ev} = \frac{4}{3 \pi d_1 \mathrm{R_{eg\ v}}}\times \frac{\mathrm{F_t}}{k}
écrou : l_\mathrm{ee} = \frac{8 }{7 \pi d \mathrm{R_{eg\ e}}}\times \frac{\mathrm{F_t}}{k}

Résistance à la traction de la vis[modifier | modifier le code]

Une vis présente une section variant de manière brusque. On ne peut donc pas la modéliser par une poutre au sens strict. On définit cependant de manière conventionnelle un cylindre lisse ayant la même résistance. Son diamètre est appelé d0, et il est défini, pour le profil ISO, par

d0 = (d2 + d3)/2

avec

  • d2 = d - 0,649 5×p ;
  • d3 = d - 1,226 8×p ;

soit

d0 = d - 0,938 2×p.

Cela permet de définir une section équivalente de résistance en traction :

Seq = π×d02/4.
Section résistante, vis ISO à pas gros
d d0
(mm)
Seq
(mm2)
d d0
(mm)
Seq
(mm2)
M3 2,484 4,85 M10 8,593 58,0
M4 3,343 8,78 M12 10,358 84,3
M5 4,249 14,2 M16 14,124 157
M6 5,062 20,1 M20 17,655 245
M8 6,827 36,6
Section résistante, vis ISO à pas fin
d d0
(mm)
Seq
(mm2)
d d0
(mm)
Seq
(mm2)
M3×0,35 2,671 5,61 M12×1 11,062 96,1
M4×0,5 3,531 9,79 M12×1,25 10,827 92,1
M5×0,5 4,531 16,1 M12×1,5 10,593 88,1
M6×0,75 5,296 22,0 M16×1 15,062 178
M8×0,75 7,296 41,8 M16×1,5 14,593 167
M8×1 7,062 39,2 M20×1 19,062 285
M10×0,75 9,296 67,9 M20×1,5 18,593 272
M10×1 9,062 64,5 M20×2 42,02 54,98
M10×1,25 8,827 61,2

La force ultime à laquelle la vis peut résister en traction est donnée par

Ft = k×Seq×Re

où Re est la limite d'élasticité et k est un coefficient de sécurité.

Résistance en traction des matériaux courants
Matériau Re (MPa) Matériau Re (MPa)
Alliage d'aluminium
EN AB 21000 (A-U5GT)
200 Fonte
EN GJS 400-15 (FGS 400-15)
240
Alliage d'aluminium
EN AW 2017 (A-U4G)
240 Vis classe 4.6 240
Acier
S235
235 Vis classe 8.8 640
Alliage d'aluminium
EN AW 7075 (A-Z5GU)
440 Vis classe 10.9 900
Vis inox
Nuances A1 à A5
classe 50
210 Nuance C3
classe 80
640
Nuances A1 à A5
classe 70
450 Nuance C4
classe 50
250
Nuances A1 à A5
classe 80
600 Nuance C4
classe 70
410
Nuance C1
classe 50
250 Nuance F1
classe 45
250
Nuance C1
classe 70
410 Nuance F1
classe 60
410
Nuance C1
classe 110
820
Article détaillé : Essai de traction.

Longueur d'implantation minimale[modifier | modifier le code]

Comme indiqué précédemment, plus la longueur d'implantation est importante, plus la résistance au cisaillement du filet est importante. À partir d'une certaine longueur, les filets sont plus résistants que le noyau de la vis, c'est systématiquement la vis qui casse en traction.

On peut estimer cette longueur en introduisant la force ultime en traction dans la formule de la longueur résistant au cisaillement :

côté vis : l_\mathrm{e} = \frac{4}{3 \pi d_1 \mathrm{R_{eg\ v}}}\times \frac{k \pi d_0^2\mathrm{R_{e\ v}}/4}{k}
côté écrou : l_\mathrm{e} = \frac{8 }{7 \pi d \mathrm{R_{eg\ e}}}\times \frac{k \pi d_0^2\mathrm{R_{e\ v}}/4}{k}

soit

côté vis : l_\mathrm{e} = \frac{d_0^2}{3 d_1}\times \frac{\mathrm{R_{e\ v}}}{\mathrm{R_{eg\ v}}}
côté écrou : l_\mathrm{e} = \frac{2 d_0^2 }{7 d }\times \frac{\mathrm{R_{e\ v}}}{\mathrm{R_{eg\ e}}}

En faisant les approximations d0d et Re v/Reg i ≈ 2 (vis et taraudage en acier doux, par exemple boulon de classe 4), on a

côté vis : le = 2d/3 = 0,667d
côté écrou : le = 4d/7 = 0,571d

En supposant une vis de classe 8.8 (Re v/Reg v = 1,25) et un taraudage dans un alliage d'aluminium 2017 (Re v/Reg e = 5,333) :

côté vis : le = 1,25d/3 = 0,417d
côté écrou : le = 10,667d/7 = 1,524d

Ceci justifie les règles empiriques led ou 1,5d.

Matage sous tête[modifier | modifier le code]

Si l'on serre directement avec la vis ou l'écrou sur le plat de la pièce, la surface de contact a la forme d'un anneau. Le diamètre intérieur di de cet anneau est le diamètre de perçage d1, et le diamètre extérieur de est donné par la forme de la tête de vis. L'aire de cette surface sous tête vaut :

St = π×(de2 - di2)/4.

La pression de contact vaut donc :

P = F/St.
Diamètres extérieurs d'appuis sous tête
d Forme de la tête
vis ou écrou H[12] vis CHC[13] vis ou écrou H à embase[14]
M5 6,9 8,03 9,8
M6 8,9 9,38 12,2
M8 11,6 12,33 15,8
M10 14,6 15,33 19,6
M12 16,6 17,23 23,8
M16 22,5 23,17 31,9
M20 28,2/27,7[15] 28,87 39,9

La pression admissible dépend du matériau, mais il est difficile d'avoir des données. Pour les aciers de construction, on retient en général Padm = 20 MPa. Guillot propose lui des valeurs bien plus élevées (« avec une bonne sécurité »)[16] :

Pmax = (Rec + Rmc)/2

avec

  • Rec : limite élastique minimale en compression ;
  • Rmc : résistance minimale en compression ;

pour les matériaux isotropes (la plupart des métaux non frittés, excepté les fontes), on prend Rec ≈ Rp0,2 et Rmc ≈ Rm.

Propriétés au matage de quelques métaux
Matériau Rec
(MPa)
Rmc
(MPa)
Pmax
(MPa)
Acier S235 (E24) 235 340 288
Fonte EN GJS-400-12 (FGS 400.12) 280 700 490
Alu EN AC-21000 (AU5GT) 200 330 235
Alu EN AW-2017 (AU4G) 240 390 315

Outre la détérioration de la pièce, le matage diminue la précontrainte, le serrage. Pour éviter ce phénomène, on réduit la pression de matage en utilisant des rondelles. Ceci est particulièrement important lorsque l'on utilise des qualités de vis élevées — donc pour des couples de serrage important — avec des matériaux de construction standard (aciers S235, S355, inox, alliages d'aluminium, …).

Relation entre la force de traction et le couple de serrage[modifier | modifier le code]

Adhérence sur le filet[modifier | modifier le code]

Action de contact sur un filet ISO.

Localement, la situation de la vis qui tourne dans le taraudage est similaire à un solide glissant sur un plan incliné. On appelle \vec{\mathrm{F}} la force d'action locale du taraudage sur la vis.

On se place à un endroit du filet et on définit un repère cylindrique local, l'hélice étant inscrite dans le cylindre : l'axe x est radial, l'axe y est tangentiel et l'axe z est l'axe du cylindre. Si l'on développe l'hélice, le plan développé est le plan (y, z ).

Il n'y a pas de glissement « radial » (dans le plan (z, x )), donc la force est dans une plan incliné de l'angle θ = 30 °, l'angle du profil du filet, par rapport à z. À la limite du glissement, l'action de contact du taraudage sur la vis se situe sur le cône d'adhérence, donc fait un angle φ avec la normale au plan de glissement ; on a :

φ = actan(μ)

où μ est le coefficient d'adhérence.

Pour un contact acier-acier, on a typiquement μ = 0,18 (non lubrifié) ou 0,12 (lubrifié), donc φ = 10,2 ° (non lubrifié) ou 6,84 ° (lubrifié). Mais les coefficients présentent une grande variabilité : selon le traitement de surface (en général traitement anti-corrosion), la lubrification, mais aussi une grande disperison pour des conditions données.

Coefficients de frottement acier sur acier selon la finition et la lubrification[17]
Traitement de surface μ (φ)
Vis Écrou Non lubrifié Huilé Grissé au MoS2
Phosphatée Aucun 0,14-0,21
(7,97-11,9°)
0,14-0,17
(7,97-9,65°)
0,10-0,11
(5,71-6,28°)
Galvanisé 8 μm
(électrozingué)
aucun 0,13-0,18
(7,41-10,2°)
0,13-0,17
(7,41-9,65°)
Galvanisé 5 μm 0,13-0,18
(7,41-10,2°)
0,14-0,19
(7,97-10,8°)
Cadmié 7 μm aucun 0,08-0,12
(4,57-6,84°)
0,08-0,11
(4,57-6,28°)
Cadmié 7 μm 0,08-0,12
(4,57-6,84°)
0,10-0,15
(5,71-8,53°)

La force peut ensuite se décomposer en :

  • une composante axiale Ft, qui met la vis en traction ;
  • une composante horizontale Fc, qui produit un couple résistant.

On se place au milieu du filet, donc au diamètre sur flanc d2. On a donc :

Ft = F×cos(α ± φ)×cos(θ)
\vec{\mathrm{F}}_\mathrm{c} =
\begin{pmatrix}
- \mathrm{F} \times \cos(\alpha \pm \varphi) \times \sin(\theta) \\
\mathrm{F} \times \sin(\alpha \pm \varphi) \\
0 \\
\end{pmatrix}

Le moment de la force par rapport à l'axe vaut

\vec{\mathcal{M}}_1 = \vec{\mathrm{R}} \wedge \vec{\mathrm{F}}_\mathrm{c} =
\begin{pmatrix}
d_2/2 \\ 0 \\ 0 \\
\end{pmatrix}
\wedge
\begin{pmatrix}
- \mathrm{F} \times \cos(\alpha \pm \varphi) \times \sin(\theta) \\
\mathrm{F} \times \sin(\alpha \pm \varphi) \\
0 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\
- \frac{d_2}{2} \times \mathrm{F} \times \sin(\alpha \pm \varphi) \\
\end{pmatrix}

Ce moment M1 est une composante du couple de serrage. On peut éliminer F pour mettre en relation Ft et M1 (en scalaire) :

\mathcal{M}_1 = d_2 \times \mathrm{F_t} \times \frac{\tan(\alpha \pm \varphi)}{2\cos(\theta)}[18].

soit, en prenant α = 2,7 °, θ = 30 ° et φ = 6,84 ° (filetage ISO, pas gros, acier sur acier), en valeur absolue :

M1 ≈ 0,097 0×Ft×d (serrage)

ou

M1 ≈ 0,041 8×Ft×d (desserrage).

On a la relation trigonométrique suivante :

\tan(\alpha \pm \varphi) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \varphi}{1 \pm \tan \alpha \tan \varphi} = \frac{\tan \alpha \pm \mu}{1 \pm \mu \tan \alpha} = \frac{1}{\tan \alpha} \cdot \frac{\tan \alpha \pm \mu}{\frac{1}{\tan \alpha} \pm \mu}

avec tan α = p/(πd2) et tan φ = μ. Par ailleurs, comme φ < 10° et α ≤ 2,28°, on a tan(α)tan(φ) < 0,008 qui est négligeable devant 1, soit

\mathcal{M}_1 \simeq \frac{d_2 \times \mathrm{F_t}}{2\cos(\theta)} \times \left ( \frac{p}{\pi d_2} \pm \mu \right )

et donc :

\mathcal{M}_1 \simeq \left ( \frac{p}{2 \pi \cos(\theta)} \pm \frac{\mu d_2}{2 \cos \theta} \right ) \times \mathrm{F_t}.

Le signe est positif au vissage et négatif au dévissage. Pour le vissage avec un filetage ISO, on a donc :

M1 ≈ (0,184×p + 0,577×μ×d2)×Ft.

Exemple

Considérons une vis M10 à pas gros, avec un contact acier sur acier lubrifié. On a d2d = 10 mm = 0,01 m, soit au serrage

M1 = 0,000 968×Ft

(Ft en N, M1 en Nm).

Adhérence de la tête de vis ou de l'écrou sur le plat ou le fraisurage[modifier | modifier le code]

Lors du serrage ou du desserrage, la partie que l'on manipule — tête de vis dans le cas d'un système vis/trou taraudé, tête de vis ou écrou dans le cas d'un boulon — frotte sur la partie plate de la pièce (ou sur la rondelle ou le joint), ou bien sur le fraisurage (vis à tête fraisée). Nous prenons ici le cas d'un écrou.

Isolons l'écrou. La vis exerce une action dont la résultante est la force Ft. Il se crée donc une résistance au pivotement. Cette résistance se traduit par un couple résistant de moment M2 :

M2 = μ×Ft×rt

  • rt est un facteur de forme qui dépend de la forme de la tête de vis, une sorte de rayon moyen sous tête ;
  • μ est le coefficient d'adhérence ; il peut être différent du coefficient d'adhérence sur le filet si les matériaux ou a lubrification sont différents.

Si la surface est un disque évidé de rayon intérieur rint et de rayon extérieur rext — par exemple vis à tête cylindrique, vis à tête hexagonale (il y a une collerette, portée circulaire située sous la tête), écrou hexagonal (il a des « bords relevés » donc une surface de contact circulaire), écrou à embase tronconique, écrou serré à la main (papillon, moleté, à croisillon) —, on a :

r_\mathrm{t} = \frac{2}{3}\frac{r_\mathrm{ext}^3 - r_\mathrm{int}^3}{r_\mathrm{ext}^2 - r_\mathrm{int}^2}.

Pour les diamètres extérieurs des têtes de vis et des écrous, voir la section Matage sous tête.

Dans le cas d'une vis ou d'un boulon, la largeur de la surface d'appui est faible devant son rayon, on a rext/rint ≈ 1, on peut donc faire l'approximation

r_\mathrm{t} \simeq \frac{r_\mathrm{ext} + r_\mathrm{int}}{2} = \frac{d_\mathrm{ext} + d_\mathrm{int}}{4}.

Pour une tête hexagonale et un passage de vis de d + 1 mm, on a rt ≈ 0,64×d. Cette formule n'est valable que pour une forme de tête et un jeu de passage.

Rayon d'adhérence (mm) pour une tête hexagonale (H) et un trou de passage de d + 1 mm
d Formule utilisée
Formule
exacte
Moyenne
(rext + rint)/2
Proportionnelle
0,64×d
M5 3,230 3,225 (-0,2 %) 3,2 (-0,9 %)
M6 3,994 3,975 (-0,5 %) 3,84 (-3,9 %)
M8 5,177 5,150 (-0,5 %) 5,12 (-1,1 %)
M10 6,442 6,400 (-0,7 %) 6,4 (-0,7 %)
M12 7,436 7,400 (-0,5 %) 7,68 (+3,3 %)
M16 9,939 9,875 (-0,6 %) 10,24 (+3 %)
M20 12,388 12,300 (-0,7 %) 12,8 (+3,3 %)

Si la surface est un tronc de cône de demi-angle au sommet α' — vis à tête fraisée (tête normalisée à α' = 45 °) —

r_\mathrm{t} = \frac{2}{3}\frac{1}{\sin \alpha'}\frac{r_\mathrm{ext}^3 - r_\mathrm{int}^3}{r_\mathrm{ext}^2 - r_\mathrm{int}^2}.

et donc

r_\mathrm{t} \simeq \frac{r_\mathrm{ext} + r_\mathrm{int}}{\sqrt{2}} = \frac{d_\mathrm{ext} + d_\mathrm{int}}{2\sqrt{2}}.


Exemple

Considérons un écrou M10, avec un contact acier sur acier lubrifié, soit μ = 0,12. Le diamètre de la collerette sous tête vaut 14,6 mm, c'est aussi le diamètre du cercle inscrit dans l'hexagone ; donc rext = 14,6/2 = 7,3 mm. Admetons que la rondelle d'appui ait un diamètre intérieur de 12 mm : on a rint = 12/2 = 6 mm.

Nous avons donc :

rt = 6,67 mm = 0,006 67 m
M2 = 0,000 801×Ft

(Ft en N, M2 en Nm).

Relation complète[modifier | modifier le code]

Le couple de serrage est la somme des moment calculés ci-dessus :

C = M1 + M2

soit dans le cas d'une vis à filetage ISO à pas gros :

C = (0,184×p + (0,577×d2 + rt)×μ)×Ft

et à l'inverse

\mathrm{F_t} = \frac{\mathrm{C}}{0,184 \times p + (0,577 \times d_2 + r_\mathrm{t}) \times \mu}

Dans le cas de notre vis M10 :

C = 0,001 77×Ft

(Ft en N, C en Nm). On voit que l'adhérence du filet représente 99 % du couple de serrage, et l'adhérence sous la tête représente 1 % de ce couple.

Résistance mécanique[modifier | modifier le code]

Contrainte dans le filet[modifier | modifier le code]

Le contact se faisant au niveau des dents celles-ci doivent supporter une contrainte qui peut être calculée.

Contrainte à la base de la tête de vis[modifier | modifier le code]

Cisaillement[modifier | modifier le code]

Il faut tenir compte des forces intérieures de cisaillement à la base de la tête de vis. Il est de bon ton de considérer les forces correspondant à la répartition des contraintes dans un cylindre de diamètre égal au diamètre à flanc de filet.

Bien que la vis ne doit pas avoir de contrainte de cisaillement, dans un assemblage la valeur de celle-ci est de 0,6 de la valeur de la rupture. (Dans un assemblage, des goupilles doivent être installées en cas de contrainte de cisaillement).

Cas du bois[modifier | modifier le code]

Les vis à bois n'ayant pas un filetage suffisant pour travailler en traction, elles sont donc conçues pour travailler en cisaillement. Pour un assemblage en bois vissé travaillant en traction, il faut utiliser :

  • des tire-fonds dont le filetage est adapté à ce genre de sollicitations
  • Des inserts filetés pour utilisation avec des vis ISO standards


Références[modifier | modifier le code]

  1. un flux bouclé est un ensemble d'efforts internes à un sous-ensemble rigide (classe d'équivalence cinématique), et indépendant des actions extérieures à ce sous-ensemble ; la somme de ces efforts est nécessairement nulle (condition d'équilibre), les vecteurs force mis bout à bout forment un polygone fermé, d'où cette notion de « boucle » et de « flux »
    C. Teixido, J.-C. Jouanne, B. Bauwe, P. Chambraud, G. Ignatio et C. Guérin, Guide de construction mécanique, Delagrave,‎ 2000 (ISBN 2-206-08224-1), p. 281
  2. la classe de qualité est composée de deux nombres, sous la forme a.b ; la limite élastique en MPa vaut Re = 10×a×b (pour une vis de classe 8.8, Re = 640 MPa)
  3. correspondant à 3/4 de la limite élastique (coefficient de sécurité de 1,3), filetage à pas gros, pour un montage graissé monté avec rondelles plates (coefficient de frottement μ = 0,12) ; André Chevalier, Guide du dessinateur industriel, Hachette,‎ 2004 (ISBN 978-2-01-168831-6), p. 336
  4. correspondant à 3/4 de la limite élastique ; sections résistantes : Jean-Louis Fanchon, Guide des sciences et technologies industrielles, Nathan,‎ 2011 (ISBN 978-2-09-161590-5), p. 194
  5. (de) Rudolf Kellermann et Hans-Christof Klein, « Untersuchungen über den Einfluß der Reibung auf Vorspannung und Anzugsmoment von Schraubenverbindungen », Konstruction, Springer Verlag, vol. 2,‎ 1955 (lire en ligne)
  6. op. cit., formule (17) p. 4
  7. John H. Bickford, Introduction to the Design and Behavior of Bolted Joints, Marcel Dekker,‎ 1990, 709 p.
  8. http://machinedesign.com/article/understanding-the-nut-factor-in-threaded-fastener-torque-tension-relationship-0818
  9. http://www.archetypejoint.com/?page_id=135
  10. Jean Guillot, « Modélisation et calcul des assemblages vissés. Généralités », Techniques de l'ingénieur, Éditions TI, no BM 5 560,‎ 2007, p. 14
  11. Guillot, op. cit. p. 15
  12. normes ISO 4014 (vis) et ISO 4032 (écrous)
  13. norme ISO 4762
  14. normes EN 1665 (vis) et EN 1661 (écrou)
  15. 28,2 mm pour une tête de vis, 27,7 pour un écrou à embase
  16. Guillot, op. cit., p.16
  17. Guillot, op. cit., p.11
  18. Kellermann et Klein définissent un coefficient d'adhérence apparent
    µ' = µ/cos(θ) soit tan(φ') = tan(φ)/cos(θ) ;
    il leur vient
    M1 = d2×Ft×tan(α + φ')

Liens externes[modifier | modifier le code]