Calcul de la date des Pâques

Le calcul de la date des Pâques chrétiennes est important, car celle-ci sert de référence à de nombreuses célébrations des églises chrétiennes. De plus, le calendrier civil de plusieurs pays de tradition chrétienne prend en compte certaines de ces célébrations religieuses en tant que jours fériés.

La méthode canonique de calcul de la date des Pâques est due, selon la tradition, au moine byzantin Dyonisus Exiguus, Denys le Petit (env. 470 - env. 540). Cette méthode, complexe mais exacte, a été adoptée en 525 par l'ensemble des églises chrétiennes. Établie alors que le calendrier julien était en vigueur dans l'ensemble des régions de l'ancien Empire romain, ce calcul dut être modifié lors de l'adoption du calendrier grégorien en 1582. La méthode canonique en calendrier grégorien fut déterminée par les savants attachés au pape Grégoire XIII, promoteur de la réforme, dont le mathématicien allemand Christophorus Clavius et l'astronome italien Luigi Giglio ou Lilius La méthode de calcul de la date des Pâques en calendrier grégorien est encore plus complexe qu'en calendrier julien.

Au XVIII^e siècle, les mathématiciens cherchèrent des méthodes moins compliquées ; en particulier des algorithmes qui s'appuieraient sur des opérations arithmétiques élémentaires, telles que les quotients et restes de divisions euclidiennes . En 1800, Gauss publia une méthode pour le calendrier grégorien fondée essentiellement sur des divisions euclidiennes. Toutefois, sa méthode initiale était incomplète : elle tenait mal compte de deux exceptions dans le calcul de l'épacte grégorienne, la proemptose et la métemptose et produisait ainsi des résultats parfois inexacts. Plusieurs autres méthodes, plus ou moins simplifiées, ont été publiées jusque dans les années récentes, certaines, comme la méthode de Conway ayant surtout un intérêt conceptuel. En 1877, Samuel Butcher, évêque de Meath en Irlande, publia dans The ecclesiastical calendar la preuve d'une méthode générale et exacte du calcul de la date des Pâques pour le calendrier grégorien ; complétée par la méthode de Delambre pour le calendrier julien, ces deux méthodes forment l'algorithme de Delambre-Butcher, la plus utilisée des méthodes parfaitement exactes connues à ce jour. Diffusé par Jean Meeus, ce procédé est aussi connu sous le nom d'algorithme de Meeus.

Définition de la date des Pâques

La fête des Pâques était célébrée de façon diverse par les églises chrétiennes primitives. Certaines fêtaient les Pâques chrétiennes le même jour que la Pâque juive, même lorsque ce n'était pas un dimanche ; d'autres différaient la célébration au dimanche suivant ; d'autres encore suivaient d'autres coutumes.

La définition du concile de Nicée

En 325, le concile de Nicée unifia la situation en s'accordant sur la définition suivante :

Pâques est le dimanche qui suit le 14^e jour de la Lune qui atteint cet âge le 21 mars ou immédiatement après.

Cette définition doit être assortie de quelques précisions :

• la date du 21 mars est fixe et ne dépend pas de l'équinoxe de printemps (lequel peut tomber, selon les années, parfois le 19 et plus fréquemment le 20 ou le 21 mars) ;
• le quatorzième jour de la Lune signifie le treizième jour qui suit la Nouvelle Lune ;
• le terme Lune ne signifie pas ici la Lune réelle observée mais une Lune fictive, approchant assez bien la Lune réelle, appelée Lune pascale ou Lune ecclésiastique et déterminée à l'aide du cycle de Méton.

Des méthodes de calcul diverses

Les évêques revinrent du concile de Nicée avec une définition claire de la date des Pâques, mais sans méthode précise pour la calculer. Chaque église utilisa sa solution particulière :

Le premier savant qui rédige ses réflexions sur la détermination de la date des Pâques est Saint Anatole, né à Alexandrie en 230, sacré évêque en 270, qui publie ses travaux dans le « Canon Paschal » ; il utilise deux cycles de 19 ans décalés de 3 ans.

Les Alexandrins utilisèrent le cycle de Méton (19 années terrestres font 235 mois lunaires) dans les tables de l'évêque d'Alexandrie Théophile (370-412) (tables allant de 380 à 480), puis dans celles de son neveu et successeur Cyrille (376-444) (tables allant 436 à 531).

À Rome, après avoir utilisé au III^e siècle une table pascale élaborée par Saint Hyppolite (fondée sur un cycle de 16 ans), on utilisa un cycle de 84 ans (4 cycles de Méton de 19 ans plus un cycle octaéride de 8 ans) connu sous le nom de cycle d'Augustalis. Les dates entre lesquelles la date des Pâques pouvaient tomber étaient fixées pour la Lune entre le 14^e et le 20^e jour du mois lunaire et, pour le Soleil, entre le 25 mars et le 21 avril. Ce système fut modifié en 312 et 343. À partir de 457, Victorius d'Aquitaine fit adopter une nouvelle méthode fondée sur le cycle de Méton de 19 ans et sur le cycle solaire de 28 ans, créant ainsi le Computus Paschalis de (19 × 28 =) 532 ans.

En 525, fut adopté par toutes les églises chrétiennes un calcul canonique de la date des Pâques élaboré, selon la tradition, par le moine byzantin Denys le Petit.

Lors de la réforme grégorienne, qui prit effet à Rome le 15 octobre 1582, il fallut reporter sur le calcul de la date de Pâques les modifications apportées au calendrier. Puisque la réforme grégorienne supprimait trois jours bissextiles tous les quatre cents ans (pour mieux approcher l'équation solaire), il fallait corriger de même l'âge de la Lune ; cette correction s'appelle la métemptose. On savait, de plus, que le cycle de Méton n'est pas absolument exact et dérive d'un jour tous les 312 ans. Les astronomes promoteurs de la réforme, Clavius et LIlius, en profitèrent pour introduire une correction du cycle de Méton. Cette correction est appelée proemptose.

Ces corrections rendent le calcul de la date des Pâques grégoriennes bien plus compliqué que pour les Pâques juliennes. Clavius publia une méthode canonique de calcul de la date des Pâques grégoriennes.

La date des Pâques au plus tôt et au plus tard

Des raisonnements simples, à partir de la définition du concile de Nicée, permettent de définir les valeurs extrêmes que peut prendre la date des Pâques, au plus tôt et au plus tard :

• si le quatorzième jour de la lune de mars se produit le 21 mars et que ce jour est un samedi, le dimanche qui suit est le 22 mars, et les Pâques tombent le 22 mars ;
• si le quatorzième jour de la lune de mars tombe le 20 mars alors le prochain quatorzième jour de la lune pascale se produit le 18 avril. Si le 18 avril est un dimanche, les Pâques tombent le dimanche suivant, c'est-à-dire le 25 avril.

La date des Pâques est comprise entre le 22 mars et le 25 avril (inclus).

Les éléments du calcul canonique de la date des Pâques

Les éléments du comput ecclésiastique figurent au bas du mois de février sur un calendrier pour l'année 2006.

Le calcul canonique la date des Pâques utilise des éléments qui figurent encore fréquemment sur les calendriers, au bas du mois de février. Dans la reproduction ci-contre d'un calendrier (grégorien) de 2006, on trouve les éléments du comput :

• Épacte (0 en 2006, dans l'exemple ci-contre) ;
• Lettre dominicale (A en 2006)
• Cycle solaire (27 en 2006) ;
• Nombre d'or (12 en 2006) ;
• Indiction romaine (14 en 2006).

(L'épacte, la lettre dominicale, le cycle solaire et le nombre d'or présentés dans cet exemple concernent le calendrier grégorien ; ils auraient d'autres valeurs pour le calendrier julien. Quant à l'indiction romaine, elle est indépendante du calendrier julien ou grégorien et ne sert pas au calcul de la date des Pâques.)

Calcul canonique des Pâques juliennes

Le calcul de la date des Pâques consiste à mettre en correspondance deux cycles : celui de la Lune et celui du Soleil.

• le premier, appelé cycle lunaire ou cycle de la lune pascale ou cycle de Méton est caractérisé par l'épacte ou par le Nombre d'or, chacun se déduisant aisément de l'autre grâce au calendrier lunaire perpétuel.
• le second, appelé cycle solaire résulte de la combinaison du cycle hebdomadaire de 7 jours et du cycle des années bissextiles de quatre ans. Il s'agit donc d'un cycle de 7 × 4 = 28 ans selon lequel les mêmes jours de la semaine se succèdent aux mêmes dates. Il est caractérisé par la Lettre dominicale ou par le Cycle solaire, qui se déduisent aisément l'un de l'autre.

Méthode canonique de détermination de la date des Pâques juliennes

Calendrier lunaire

Le calcul canonique de la date des Pâques utilise une Lune fictive, dite Lune de Méton, selon laquelle il y a exactement 235 mois lunaires en 19 années terrestres. Il s'agit d'une bonne approximation, dérivant toutefois d'un jour tous les 312 ans. Le comput des Pâques juliennes ignore cette dérive et considère le cycle de Méton comme valable indéfiniment.

Nombre d'or

Selon le Cycle de Méton, au cours d'un cycle 19 années terrestres se produisent exactement 235 mois lunaires. Chaque année du cycle de dix-neuf ans est numérotée de 1 à 19 et le numéro du cycle pour une année donnée est appelé le Nombre d'or de l'année. Par définition, le Nombre d'or de l'an 1 vaut 2 ; on le calcule donc facilement par la formule suivante :

Nombre d'or = RESTE [Année / 19] + 1

Calendrier lunaire perpétuel julien

Puisque les nouvelles lunes se reproduisent à date fixe sur un cycle de 19 ans, il est possible de construire un calendrier lunaire perpétuel répartissant 235 mois lunaires sur 19 années terrestres. Pour chaque valeur du Nombre d'or, le tableau suivant affiche, pour chaque mois, la quantième de la nouvelle lune.

Calendrier lunaire perpétuel julien : quantième de la nouvelle lune

Nombre d'or	Jan	Fév	Mar	Avr	Mai	Jun	Jul	Aou	Sep	Oct	Nov	Déc
1	23	21	23	21	21	19	19	17	16	15	14	13
2	12	10	12	10	10	8	8	6	5	4	3	2
3	1, 31		1, 31	29	29	27	27	25	24	23	22	21
4	20	18	20	18	18	16	16	14	13	12	11	10
5	9	7	9	7	7	5	5	3	2	2, 31	30	29
6	28	26	28	26	26	24	24	22	21	20	19	18
7	17	15	1	15	15	13	13	11	10	9	8	7
8	6	4	6	5	4	3	2	1, 30	29	28	27	26
9	25	23	25	23	23	21	21	19	18	17	16	15
10	14	12	14	12	12	10	10	8	7	6	5	4
11	3	2	3	2	1, 31	29	29	27	26	25	24	23
12	22	20	22	20	20	18	18	16	15	14	13	12
13	11	9	11	9	9	7	7	5	4	3	2	1, 31
14	30	28	30	28	28	26	26	24	23	22	21	20
15	19	17	19	17	17	15	15	13	12	11	10	9
16	8	6	8	6	6	4	4	2	1	1, 30	29	28
17	27	25	27	25	25	23	23	21	20	19	18	17
18	16	14	16	14	14	12	12	10	9	8	7	6
19	5	3	5	4	3	2	1, 30	28	27	26	25	24

L'alternance des mois de 29 jours et de 30 jours est à peu près respectée. Certains mois où la Nouvelle lune se produit très tôt dans le mois se reproduit en fin du même mois (notation, par exemple : 1, 31 au mois de mars, pour signifier que la Nouvelle Lune se produit le 1^er et le 31 mars). Noter que, d'un mois à l'autre, le décalage de la Nouvelle Lune est de 11 jours (l'année lunaire étant de 12 × 29,5 jours = 354 jours, tandis que l'année solaire est de 365 jours.) Puisque les nouvelles lunes suivent un cycle de 19 ans et que le mois d'avril, par exemple, comporte 30 jours, il y a onze jours d'avril où ne se produit jamais de Nouvelle Lune ; comme on le voit dans le calendrier lunaire ci-dessus : ce sont les 1, 3, 8, 11, 13, 16, 19, 22, 24, 27 et 30 avril. Cette bizarrerie se reproduit tous les mois du calendrier lunaire et est due, évidemment, au fait que le cycle de Méton n'est qu'une approximation rationnelle de la Lune réelle.

Noter que le calendrier lunaire est une distribution annuelle du cycle de Méton qui est posé par hypothèse et qui constitue la base du calcul de la date des Pâques juliennes. C'est sur de ce calendrier lunaire se fondent tous les calculs des Pâques juliennes.

Calcul de l'épacte julienne à partir du calendrier lunaire

L'épacte est, par définition, l'âge de la Lune au 1^er janvier.

Si la première nouvelle lune de janvier tombe le n janvier, alors l'épacte vaut :

E = 31 - n

Cette formule permet donc d'établir simplement l'épacte en fonction du Nombre d'or à l'aide du calendrier lunaire julien ci-dessus. Ces valeurs sont rassemblées dans le tableau suivant :

Correspondance entre le Nombre d'or et l'épacte julienne

Nombre d'or	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Épacte julienne	8	19	0	11	22	3	14	25	6	17	28	9	20	1	12	23	4	5	26

L'épacte et le Nombre d'or sont donc équivalents, à une transformation près par l'intermédiaire de cette table. Par convention, le calcul des Pâques juliennes utilisent le Nombre d'or.

Table des quatorzièmes jours de la lune pascaux

À partir du calendrier lunaire julien perpétuel ci-dessus, il est facile de repérer, pour chaque Nombre d'or, la nouvelle lune telles que le quatorzième jour de la lune tombe le 21 mars ou immédiatement après :

• on repère la nouvelle lune de mars ;
• on ajoute 13 ;
• on vérifie que la date obtenue tombe le 21 mars ou immédiatement après (sinon on prend, selon le cas, la nouvelle lune précédente ou la nouvelle lune suivante).

Par exemples :

• pour le Nombre d'or 1, la nouvelle lune est le 23 mars ; le quatorzième jour de la lune est le 23 +13 = 36 mars, c'est-à-dire le 5 avril, qui se situe bien après le 21 mars ;
• pour le Nombre d'or 8, la nouvelle lune de mars est le 6 mars ; le quatorzième jour de la lune est le 6 + 13 =19 mars. C'est trop tôt. Il faut prendre la nouvelle lune suivante, qui a lieu le 5 avril. Le quatorzième jour de la lune a donc lieu le 18 avril.

Le tableau suivant récapitule, pour chacun des Nombres d'or la date du quatorzième jour de la lune qui tombe le 21 mars ou immédiatement après :

Date des quatorzièmes jours de la lune pascaux (1)

Nombre d'or	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
14e jour de la lune en jours de mars	36	25	44	33	22	41	30	49	38	27	46	35	24	43	32	21	40	29	48
14e jour de la lune en jours de mars (M) ou d'avril (A)	5A	25M	13A	2A	22M	10A	30M	18A	7A	27M	15A	4A	24M	12A	1A	21M	9A	29M	17A

Il s'agit maintenant de déterminer la date du dimanche qui suit le quatorzième jour de la lune. On utilise pour cela les éléments du Cycle solaire.

Calendrier solaire

Cycle solaire

Puisqu'une année ordinaire de 365 jours comporte 52 semaines plus 1 jour, il y a un décalage d'un jour chaque année entre le quantième et le jour de la semaine. Par exemple, si 1^er janvier 2013 étant un mardi, le 1^er janvier 2014 est un mercredi, décalé d'un jour. S'il n'y avait pas les années bissextiles, les mêmes jours de la semaine se retrouveraient aux même quantièmes tous les sept ans. Toutefois les années bissextiles introduisent un décalage supplémentaire : de ce fait les quantièmes et les jours de la semaine ne retrouvent le même cycle que tous les 7 × 4 = 28 ans. C'est le cycle solaire. Le cycle solaire détermine donc la répartition des jours de la semaines au cours de chaque année.

À chaque année est attribué un numéro dans un cycle solaire de 28 ans, numéroté de 1 à 28 et qui débute arbitrairement par le numéro 1 en l'an 20 de notre ère. Il en résulte que le Cycle solaire de l'année A vaut :

Cycle solaire = RESTE [(A + 8) / 28 ] + 1

Exemple pour l'année 2006

2006 + 8 = 2014

RESTE [ 2014 / 28 ] = 26

Cycle solaire = 26 + 1 = 27

Le Cycle solaire pour 2006 vaut 27 comme on peut le vérifier dans le reproduction du calendrier ci-dessus.

Lettre dominicale

Pour une année donnée, on fait correspondre successivement chacune des sept premières lettres (A, B, C, D, E, F et G) à chacun des jours de l’année, en commençant par A pour le 1^er janvier, puis en répétant le cycle tous les sept jours. La Lettre dominicale est la lettre attribuée aux dimanches.

Exemples :

• En 2006, le 1^er janvier est un dimanche ; la Lettre dominicale est donc A ;
• En 2013, le 1^er janvier est un mardi ; la Lettre dominicale est donc F.

Lorsque l'année est bissextile, la lettre est redoublée pour le jour bissextile, si bien que la Lettre dominicale n'est pas la même pour janvier et février et pour les dix mois restants. Puisque Pâques a toujours lieu après le 21 mars, seule nous importe la seconde Lettre dominicale.

Correspondance entre Cycle solaire et Lettre dominical

Le Cycle solaire et la Lettre dominicale sont équivalents. On déduit la Lettre dominicale du Cycle solaire à l'aide de la table suivante. On y a fait figurer sur deux lignes :

• la Lettre dominicale de l'année, valable seulement en janvier et février pour les années bissextiles ;
• la Lettre dominicale pascale, c'est-à-dire la Lettre dominicale valable toute l'année pour les années régulières et valable seulement pour des dix derniers mois pour les années bissextiles.

Seule la lettre dominicale pascale sert au calcul de la dates des Pâques juliennes.

Cycle solaire et lettre dominicale (2)

Cycle solaire	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
Lettre dominicale de janvier	F	E	D	C	A	G	F	E	C	B	A	G	E	D	C	B	G	F	E	D	C	A	G	F	D	C	B	A
Lettre dominicale pascale	G	E	D	C	B	G	F	E	D	B	A	G	F	D	C	B	A	F	E	D	B	A	G	F	E	C	B	A

Voici un algorithme permettant le calcul de la lettre dominicale (de janvier) en fonction du millésime A :

Donnée : millésime A

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste
A	100	M
M	4	q	r
r	4	u
2*M - q - r - u	7	S	T

Si S < 0, prendre S = 6 - T

La lettre dominicale vaut :

S	0	1	2	3	4	5	6
Lettre dominicale de janvier	A	B	C	D	E	F	G

Date des Pâques juliennes

Quelques raisonnements calendaires simples conduisent à la table suivante qui permet de déterminer la date des Pâques à l'aide du Nombre d'or et de la Lettre dominicale. (Noter que puisqu'on a pris en compte la Lettre dominicale "pascale", les raisonnements suivants sont indépendants du caractère bissextile de l'année).

Considérons le cas où le Nombre d'or vaut 1 et la Lettre dominicale vaut A :

• puisque le Nombre d'or vaut 1, le quatorzième jour de la lune pascale se produit le 5 avril (voir la Table de Date des quatorzièmes jours de la lune pascaux (1) ci-dessus) ;
• le 5 avril est le 95^e jour de l'année et la Lettre dominicale du 5 avril vaut RESTE [95/7] = 4, c'est-à-dire D ;
• Le dimanche suivant est donc quatre jours plus tard (décompte de D à A), c'est-à-dire le 9 avril.

La table ci-dessous a été établie en généralisant ce raisonnement.

Date des Pâques juliennes en jours de mars (M) ou d'avril (A), en Fonction du Nombre d'or et de la Lettre dominicale

Date des Pâques juliennes (3)

	Lettre dominicale
Nombre d'or	A	B	C	D	E	F	G
1	9A	10A	11A	12A	6A	7A	8A
2	26M	27M	28M	29M	30M	31M	1A
3	16A	17A	18A	19A	20A	14A	15A
4	9A	3A	4A	5A	6A	7A	8A
5	26M	27M	28M	29M	23M	24M	25M
6	16A	17A	11A	12A	13A	14A	15A
7	2A	3A	4A	5A	6A	31M	1A
8	23A	24A	25A	19A	20A	21A	22A
9	9A	10A	11A	5A	6A	7A	8A
10	2A	3A	28M	29M	30M	31M	1A
11	16A	17A	18A	19A	20A	21A	22A
12	9A	10A	11A	5A	6A	7A	8A
13	26M	27M	28M	29M	30M	31M	25M
14	16A	17A	18A	19A	13A	14A	15A
15	2A	3A	4A	5A	6A	7A	8A
16	26M	27M	28M	22M	23M	24M	25M
17	16A	10A	11A	12A	13A	14A	15A
18	2A	3A	4A	5A	30M	31M	1A
19	23A	24A	18A	19A	20A	21A	22A

Application

Calcul de la date des Pâques juliennes pour l'année A =1582.

1. Nombre d'or :

Nombre d'or = RESTE [1582 / 19] + 1

Nombre d'or = 6

1. Cycle solaire :

Cycle solaire = RESTE [(1582 + 8) / 28 ] + 1

Cycle solaire = 23

1. Lettre dominicale

Depuis la table Cycle solaire et lettre dominicale (2) ci-dessus :

Lettre dominicale = G.

1. Date des Pâques juliennes, d'après la table Date des Pâques juliennes (3) ci-dessus :

Date des Pâques = 15 avril.

 

Calcul canonique des Pâques grégoriennes

Il est vivement recommandé de lire le chapitre consacré au calcul des Pâques juliennes avant d'aborder ce chapitre.

Méthode canonique de détermination de la date des Pâques grégoriennes

La correction du cycle de Méton

Les réformateurs du calendrier grégorien tentèrent, dans le calcul de la date des Pâques, de corriger non seulement l'erreur du cycle solaire - en supprimant trois année bissextiles séculaires sur quatre - mais de corriger aussi le cycle Méton et sa dérive d'un jour tous les 312 ans. Puisque le cycle de Méton n'était plus utilisé directement, cela disqualifiait l'usage du Nombre d'or pour caractériser le cycle lunaire, au profit de l'épacte. Afin de corriger la bizarrerie du calendrier perpétuel julien selon laquelle la nouvelle lune ne pouvait jamais se produire certains jours, les réformateurs définirent un cycle de 29 épactes - une pour chaque jour du mois lunaire ; une épacte supplémentaire est introduite par le doublement de l'épacte 25, (notée 25 ou XXV) pour respecter la longueur du mois lunaire de 29 jours ½ quand le besoin s'en fait sentir.

L'épacte grégorienne

Les règles du saut d'épacte

Outre les sauts d'épacte destinés à corriger le cycle de Méton, il faut également envisager des sauts d'épactes séculaires selon que l'année séculaire est bissextile ou non. La combinaison des contraintes liées au cycle solaire, d'une part, au cycle de Méton, d'autre part, conduit aux règles de saut d'épacte suivantes :

1. à chaque année séculaire non bissextile, on retranche un jour à l'épacte (opération appelée métemptose) ;
2. on ajoute un jour à l'épacte à l'année séculaire qui se produit tous les 300 ans (opération appelée proemptose) ;
3. après avoir effectué 7 fois l'opération 2, on attend 400 ans avant de recommencer les cycles de proemptose.

L'étape 1 concerne la correction du cycle solaire. Elle est indépendante des étapes 2 et 3 qui concernent la correction du cycle de Méton. Ces deux dernières étapes reviennent à répartir huit additions d'un jour à l'épacte sur un cycle de 25 siècles (7 ×300 + 400 = 2500). L'addition à l'épacte de 8 jours sur 25 siècles est équivalente, en moyenne, à ajouter à l'épacte (8 / 2500 =) 1 jour tous les 312 ans, c'est-à-dire à corriger l'erreur du cycle de Méton. La dernière addition à l'épacte par proemptose a eu lieu en 1800 ; la prochaine aura lien en 2100.

Méthode de calcul de l'épacte grégorienne

Voici un algorithme permettant de déterminer l'épacte grégorienne pour l'année Année :

c = QUOTIENT (Année / 100)

Épacte = RESTE ((11 RESTE (Année / 19) + 8 - c + QUOTIENT (c / 4) + QUOTIENT ((8 × c + 13) / 25)) / 30)

Si Épacte = 25 et que le nombre d'or N = RESTE(Année /19) >10, alors Épacte = XXV.

La lettre dominicale grégorienne

La lettre dominicale grégorienne diffère de la lettre dominicale julienne car il faut tenir compte des années séculaires non bissextiles. La méthode suivante permet de déterminer la lettre dominicale grégorienne pour l'année A :

L = 7 - RESTE [ (A + QUOTIENT [ A / 4 ] + QUOTIENT [ A / 400 ] - QUOTIENT [ A / 100] + 6) / 7 ]

avec L = 1 : A ; L = 2 : B , etc.

Date des Pâques grégoriennes

À l'aide de l'épacte et de la Lettre dominicale calculées aux deux chapitres précédents, on détermine la date des Pâques grégoriennes à l'aide de la table suivante :

Date des Pâques grégoriennes

	Lettre dominicale
Épacte	A	B	C	D	E	F	G
0	16A	17A	18A	19A	20A	14A	15A
1	16A	17A	18A	19A	13A	14A	15A
2	16A	17A	18A	12A	13A	14A	15A
3	16A	17A	11A	12A	13A	14A	15A
4	16A	10A	11A	12A	13A	14A	15A
5	9A	10A	11A	12A	13A	14A	15A
6	9A	10A	11A	12A	13A	14A	8A
7	9A	10A	11A	12A	13A	7A	8A
8	9A	10A	11A	12A	6A	7A	8A
9	9A	10A	11A	5A	6A	7A	8A
10	9A	10A	4A	5A	6A	7A	8A
11	9A	3A	4A	5A	6A	7A	8A
12	2A	3A	4A	5A	6A	7A	8A
13	2A	3A	4A	5A	6A	7A	1A
14	2A	3A	4A	5A	6A	31M	1A
15	2A	3A	4A	5A	30M	31M	1A
16	2A	3A	4A	29M	30M	31M	1A
17	2A	3A	28M	29M	30M	31M	1A
18	2A	27M	28M	29M	30M	31M	1A
19	26M	27M	28M	29M	30M	31M	1A
20	26M	27M	28M	29M	30M	31M	25M
21	26M	27M	28M	29M	30M	24M	25M
22	26M	27M	28M	29M	23M	24M	25M
23	26M	27M	28M	22M	23M	24M	25M
24	23A	24A	25A	19A	20A	21A	22A
25	23A	24A	25A	19A	20A	21A	22A
XXV	23A	24A	18A	19A	20A	21A	22A
26	23A	24A	18A	19A	20A	21A	22A
27	23A	17A	18A	19A	20A	21A	22A
28	16A	17A	18A	19A	20A	21A	22A
29	16A	17A	18A	19A	20A	21A	15A

Application : date des Pâques grégoriennes pour l'année 2006

• Calcul de l'épacte

La formule du calcul de l'épacte grégorienne (voir le § Méthode de calcul de l'épacte grégorienne ci dessus) donne pour 2006 :

c = QUOTIENT [2006 / 100] = 20

Épacte = RESTE [ (11 × RESTE [ 2006 / 19 ] + 8 - 20 + QUOTIENT [ 20 / 4 ] + QUOTIENT [ (8 × 20 + 13) / 25 ]) / 30 ]

Épacte = 0

Épacte étant différente de 25, aucune vérification ne s'impose, sinon si RESTE [ Année / 19 ] est >10, prendre Épacte = 26.

• Calcul de la Lettre dominicale

La formule de calcul de la Lettre dominicale (voir le § La lettre dominicale grégorienne ci-dessus) donne pour 2006 :

L = 7 - RESTE [ (2006 + QUOTIENT [ 2006 / 4 ] + QUOTIENT [ 2006 / 400 ] - QUOTIENT [ 2006 / 100] + 6) / 7 ]

L = 1 → A

• Détermination de la date des Pâques grégoriennes

On peut vérifier que les valeurs de l'épacte et de la Lettre dominicale calculées ci-dessus sont bien celles qui figurent dans le calendrier pour 2006 publié en tête de cet article. En se référant au tableau des dates des Pâques grégoriennes en fonction de l'épacte et de la Lettre dominicale publié ci-dessus on trouve :

Date des Pâques grégoriennes pour 2006 : 16 avril.

 

Calcul de la date des Pâques orthodoxes

Les Églises orthodoxes fêtent les Pâques selon le calendrier julien, à l'exception de l'Église orthodoxe de Finlande Toutefois, pour des raisons pratiques, la date des Pâques orthodoxes est exprimée dans le calendrier grégorien. Pour calculer la date des Pâques orthodoxes, il faut donc :

• calculer la date des Pâques juliennes par l'un des algorithmes fournis dans cet article ;
• convertir la date du calendrier julien dans le calendrier grégorien

En calendrier grégorien, les jours au plus tôt et au plus tard de la date des Pâques orthodoxes sont le 4 avril et le 8 mai.

Exemple :
Pour 2006 :

• la date des Pâques grégoriennes est le 16 avril ;
• la date des Pâques juliennes en calendrier julien est le 10 avril 2006 ;
• la date des Pâques juliennes en calendrier grégorien (date grégorienne des Pâques orthodoxes) est le 23 avril 2006.

Propriétés des dates des Pâques julienne et grégorienne

Distribution des dates des Pâques juliennes

La date des Pâques peut tomber n'importe lequel des jours de la période du 22 mars au 25 avril (voir le § La date des Pâques au plus tôt et au plus tard ci-dessus). Les dates des Pâques juliennes suivent un cycle de 532 ans (soit les 19 ans du cycle de Méton combinés aux 28 ans du cycle solaire) : c'est-à-dire que tous les 532 ans, les dates des Pâques se succèdent aux mêmes dates. Le calcul de la date des Pâques pour toutes les années d'un cycle de 532 ans permet de compter combien de fois les Pâques tombent le 22 mars, le 23 mars…, le 24 avril, le 25 avril. Ces calculs sont résumés dans le tableau suivant :

Nombre d'occurrences des Pâques juliennes pour chaque jour du 22 mars au 25 avril au cours d'un cycle de 532 ans

Date	Nombre d'occurrences	Date	Nombre d'occurrences
22 mars	4	8 avril	20
23 mars	8	9 avril	16
24 mars	8	10 avril	16
25 mars	12	11 avril	20
26 mars	16	12 avril	16
27 mars	16	13 avril	16
28 mars	20	14 avril	20
29 mars	16	15 avril	16
30 mars	16	16 avril	20
31 mars	20	17 avril	16
1er avril	16	18 avril	16
2 avril	16	19 avril	20
3 avril	20	20 avril	16
4 avril	16	21 avril	12
5 avril	20	22 avril	12
6 avril	20	23 avril	8
7 avril	16	24 avril	8
		25 avril	4

Cette distribution apparaît plus clairement sur le diagramme suivant :

Nombre de fois où les Pâques juliennes tombent sur chacun des jours de la période 22 mars-25 avril au cours d'un cycle de 532 ans.

On constate que les dates extrêmes (proches du 22 mars ou du 25 avril) sont moins susceptibles de recevoir les Pâques. On observe aussi un pseudo-cycle de trois ans dû à la combinaison des divers cycles en œuvre.

Distribution des dates des Pâques grégoriennes

Comme pour les Pâques juliennes, la date des Pâques grégoriennes peut tomber n'importe lequel des jours de la période du 22 mars au 25 avril. Toutefois, le cycle des Pâques grégoriennes est beaucoup plus long que celui des Pâques juliennes ; en effet, la métemptose suit un cycle de 400 ans ; la proemptose suit, elle, un cycle de 25 siècles ; il faut aussi tenir compte de l'épacte, qui a un cycle de 30 ans, et du Nombre d'or qui a un cycle de 19 ans. Finalement, les dates des Pâques grégoriennes suivent un cycle de :

19 × 30 × 2 500 × 400 = 5 700 000 ans.

Le calcul (par ordinateur) du nombre de fois où les Pâques grégoriennes tombent sur l'un des jours de la période 22 mars-25 avril lors d'un cycle de 5 700 000 ans est résumé dans le tableau suivant ;

Nombre d'occurrences des Pâques grégoriennes pour chaque jour du 22 mars au 25 avril au cours d'un cycle de 5 700 000 ans

Date	Nombre d'occurrences	Date	Nombre d'occurrences
22 mars	27550	8 avril	192850
23 mars	54150	9 avril	186200
24 mars	81225	10 avril	192850
25 mars	110200	11 avril	186200
26 mars	133000	12 avril	192850
27 mars	165300	13 avril	189525
28 mars	186200	14 avril	189525
29 mars	192850	15 avril	192850
30 mars	189525	16 avril	186200
31 mars	189525	17 avril	192850
1er avril	192850	18 avril	197400
2 avril	186200	19 avril	220400
3 avril	192850	20 avril	189525
4 avril	186200	21 avril	162450
5 avril	192850	22 avril	137750
6 avril	189525	23 avril	106400
7 avril	189525	24 avril	82650
		25 avril	42000

Cette distribution apparaît plus clairement sur le diagramme suivant :

Nombre de fois où les Pâques grégoriennes tombent sur chacun des jours de la période 22 mars-25 avril au cours d'un cycle de 5 700 000 ans.

Comme pour les Pâques juliennes, la fréquence des Pâques grégoriennes est plus faible à proximité des bornes du 22 mars et du 25 avril. Pour le reste de la période, les occurrences sont à peu près égales, sauf pour le 19 avril qui présente une fréquence plus élevée .

Les méthodes algorithmiques de calcul de la date des Pâques

Ce chapitre expose les principales méthodes connues de calcul de la date des Pâques. Elles sont rédigés sous forme algorithmique, n'utilisant que des opérations arithmétiques élémentaires et sans référence à quelque langage de programmation que ce soit. L'utilisateur qui désire programmer ces algorithmes devra rechercher les instructions appropriées dans le langage qu'il utilise. Le calcul de ces algorithmes ne nécessite nulle programmation compliquée : l'usage d'un simple tableur est suffisant. Quoique ces méthodes de calcul aient fait l'objet de vérifications minutieuses, elles sont, en tout état de cause, fournies en l'état : il appartient à l'utilisateur de s'assurer de leur exactitude et de leur adéquation à ses usages.

À partir du début du XVII^e siècle, les mathématiciens recherchent des méthodes simplifiant le calcul de la date des Pâques. Le but est à la fois pratique : réduire et simplifier les calculs, et théorique : montrer que ce calcul complexe peut se ramener à une suite d'opérations arithmétiques élémentaires. Ainsi, ces mathématiciens se proposent de réduire le calcul de la date des Pâques à une suite d'opérations simples, essentiellement une série de divisions euclidiennes.

La première tentative de Gauss pour les Pâques grégoriennes, publiée en 1800, est une semi-réussite : tenant mal compte de la double exception sur l'épacte (la métemptose et la proemptose), sa méthode est mise en défaut. Toutefois, Gauss, suite aux remarques et suggestions de ses élèves et d'autres mathématiciens améliore plusieurs fois sa méthode et en publie une version quasi-définitive en 1816. Diverses améliorations ultérieurs permettent finalement de publier un algorithme exact tant pour le calendrier julien que pour le calendrier grégorien. En 1814, Delambre publie un algorithme simple et exact pour le calendrier julien ; en revanche, sa solution pour le calendrier grégorien, qui fait appel à des tables et souffre d'exceptions, n'est pas satisfaisante. En 1876, le journal Nature publie un algorithme, dit algorithme de Butcher, pour le calcul des Pâques grégoriennes, qui constitue une solution définitive et élégante du problème. La réunion de l'algorithme de Delambre pour les Pâques juliennes et celui de Butcher pour les Pâques grégoriennes est appelée algorithme de Meeus. Au cours du XX^e siècle quelques autres algorithmes sont publiés pour apporter des simplifications de calcul au prix de certaines limitations quand aux périodes d'application ; depuis la diffusion des ordinateurs personnels, ces méthodes simplifiées n'ont plus grand intérêt. Dans les années 1980, John Conway publie une présentation originale du calcul de la date des Pâques grégoriennes avec l'utilisation des jours-pivot.

Dans la suite, on présente de manière détaillée :

• l'algorithme de Meeus, parfaitement exact pour la période julienne et la période grégorienne ; c'est algorithme le plus connu et le plus utilisé ; il est très simple à programmer et peut être mis en œuvre avec un simple tableur ;
• l'algorithme de Gauss dans sa dernière version, à titre historique, parfaitement exact pour la période julienne et la période grégorienne ;
• l'algorithme de Conway, applicable seulement aux Pâques grégoriennes mais qui utilise une méthode de calcul originale.

On cite ensuite, avec références, divers algorithmes publiés au XX^e siècle dont plusieurs présentent des limitations

L'algorithme de Meeus

L'histoire de cet algorithme est curieuse : en 1876, un "correspondant de New York" inconnu envoie au journal Nature un algorithme de la date des Pâques grégoriennes pour une année quelconque. En 1877, Samuel Butcher, évêque de Meath, montre dans The ecclesiastical calendar que cette méthode est exacte sans limite de date. L'algorithme est ensuite reproduit en 1922 par H. Spencer Jones dans son Astronomie générale, en 1977 par Old Farmer's Almanac (en), en 1988 par Peter Duffett-Smith, de l'Université de Cambridge dans Practical Astronomy with your Calculator et, en 1991, par Jean Meeus dans ses Algorithmes astronomiques.

Cette méthode est appelée « algorithme de Butcher ». La réunion de cet algorithme avec la méthode de Delambre constitue l'algorithme de Delambre-Butcher. Il est plus souvent connu sous le nom d'algorithme de Meeus, le livre de Jean Meeus en ayant assuré la diffusion mondiale.

L'algorithme de Meeus a l'avantage de ne présenter aucune limitation de date ni pour les Pâques juliennes ni pour les Pâques grégoriennes. Cette méthode n'exige aucune instruction conditionnelle ni le recours à aucune table. Sa mise en programme est extrêmement simple. Mathématiquement, c'est la méthode la plus élégante. C'est aussi la plus connue et la plus utilisée des méthodes de calcul de la date des Pâques.

Calcul détaillé de l'algorithme de Meeus

Calcul de la date des Pâques juliennes (326-) en calendrier julien (Algorithme de Delambre)
L'algorithme de Delambre présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indication de ce site.

Si Année ≥ 326 alors :

Date des Pâques juliennes (algorithme de Delambre)

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste	Expression
Année	19		A
Année	7		B
Année	4		C
19 A + 15	30		D
2 C + 4 B - D + 34	7		E
				R = 22 + D + E

R est la date du dimanche des Pâques juliennes en jours de mars.

Si R ≤ 31 :

Mois = mars

Quantième = R

Si R > 31

Mois = avril

Quantième = R - 31

Exemple pour l'année 1492

Pâques juliennes en 1492 (algorithme de Delambre)

Dividende	Valeur Dividende|	Diviseur	Valeur Diviseur	Quotient	Valeur Quotient	Reste	Valeur Reste	Expression	Valeur Expression
Année	1492	19	19			A	10
Année	1492	7	7			B	1
Année	1492	7	7			B	0
19 A + 15	205	30	30			D	25
2 C + 4 B - D + 34	13	7	7			E	6
								R = 22 + D + E	R = 53

R = 53 > 31

Donc

Mois = avril

Quantième = 53 - 31 =22

Pâques est le 22 avril 1492.

Calcul de la date des Pâques grégoriennes en calendrier grégorien (1583-) (Algorithme de Butcher)
L'algorithme de Butcher présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indication de l'ouvrage de Jean Lefort, La saga des calendriers, op. cit.

Si Année ≥ 1583 alors :

Date des Pâques grégoriennes (algorithme de Butcher)

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste	Explication
Année	19		n	cycle de Méton
Année	100	c	u	centaine et rang de l'année
c	4	s	t	siècle bissextil
c + 8	25	p		proemptose
c - p + 1	3	q		métemptose
19 n + c - s - q + 15	30		e	épacte
u	4	b	d	année bissextile
32 + 2 t + 2 b - e - d	7		L	lettre dominicale
n + 11 e + 22 L	451	h		correction
e + L - 7 h +114	31	m	j	mois et quantième du Samedi saint

Si m = 3, le dimanche de Pâques est le (j + 1) mars

Si m = 4, le dimanche de Pâques est le (j + 1) avril

Exemple pour l'année 2006

Pâques grégoriennes en 2006 (algorithme de Butcher)

Dividende	Valeur Dividende|	Diviseur	Valeur Diviseur	Quotient	Valeur Quotient	Reste	Valeur Reste
Année	2006	19	19			n	11
Année	2006	100	100	c	20	u	6
c	20	4	4	s	5	t	0
c + 8	28	25	25	p	1
c - p + 1	20	3	3	q	6
19 n + c - s - q + 15	233	30	30			e	23
u	6	4	4	b	1	d	2
32 + 2 t + 2 b - e - d	9	7	7			L	2
n + 11 e + 22 L	308	451	451	h	0
e + L - 7 h +114	139	31	31	m	4	j	15

m = 4, donc mois = avril

j = 15, donc le quantième du dimanche des Pâques est le 16.

Pâques est le 16 avril 2006.

 

L'algorithme de Gauss

La méthode de Gauss présente un grand intérêt historique car c'est la première tentative d'élaboration d'une méthode algorithmique de calcul de la date des Pâques. L'ambition de Gauss était de créer un algorithme unique qui serait universellement valable pour les Pâques juliennes comme pour les Pâques grégoriennes. En 1800, il publie la première méthode de calcul de la date des Pâques essentiellement fondé sur des opérations arithmétiques élémentaires. Toutefois, sa méthode tient mal compte des sauts d'épacte pour la métemptose et la proemptose. Suite à diverses corrections proposées par ses correspondants mathématiciens et ses élèves, il publie une version presque exacte en 1816. La version publiée ci-après, après diverses corrections est valide pour toutes les années en calendrier julien et en calendrier grégorien. On pourra noter que le calcul pour les Pâques juliennes est très voisin de l'algorithme de Delambre.

Gauss, prudent, et qui ne disposait pas de nos moyens actuels de calcul, limitait la validité de sa méthode à la période 1700-4099. Toutefois, des vérifications systématiques par ordinateur montrent que cet algorithme est universellement valide pour toute date à partir de 326 pour les Pâques juliennes et, au moins, pour un cycle de 5 700 000 ans à partir de 1583 pour les Pâques grégoriennes.

Calcul détaillé de l'algorithme de Gauss

L'algorithme de Gauss est commun au calcul des dates des Pâques juliennes et grégoriennes. La méthode de calcul des Pâques juliennes présente cependant quelques simplifications par rapport au calcul des Pâques grégoriennes. On présente ci-dessous :

• l'algorithme détaillé de calcul des Pâques grégoriennes ;
• l'indication des simplifications à apporter pour le calcul des Pâques juliennes ;
• l'algorithme détaillé de calcul des Pâques juliennes.

Calcul de la date des Pâques grégoriennes en calendrier grégorien (Algorithme de Gauss)
L'algorithme de Gauss présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indications de "Gauss algorithm" sur Wikipedia en anglais

Pour Année ≥ 1583 :

Date des Pâques grégoriennes (algorithme de Gauss)

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste
Année	19		a
Année	4		b
Année	7		c
Année	100	k
13 + 8 k	25	p
k	4	q
15 - p + k - q	30		M
4 + k - q	7		N
19 a + M	30		d
2 b + 4 c + 6 d + N	7		e

Les Pâques grégoriennes en calendrier grégorien sont le :

1. H = (22 + d + e) mars
2. ou le Q = (d + e − 9) avril ;
3. Si d = 29 et e = 6, remplacer le 26 avril par le 19 avril ;
4. Si d = 28, e = 6 et RESTE (11 M + 11) / 30) < 19, remplacer le 25 avril par le 18 avril.

Remarquer que H et Q fournissent la même date, la première en jours de mars et la seconde en jours d'avril. Par exemple pour 2006, on obtient H = 47 mars et Q = 16 avril, ce qui correspond à la même date si l'on considère que la première est en jours de mars (47 - 31 = 16 avril).

Exemple pour l'année 2006

Pâques grégoriennes en 2006 (algorithme de Gauss)

Dividende	Valeur Dividende|	Diviseur	Valeur Diviseur	Quotient	Valeur Quotient	Reste	Valeur Reste	Expression	Valeur Expression
Année	2006	19	19			a	11
Année	2006	4	4			b	2
Année	2006	7	7			c	4
Année	2006	100	100	k	20
8 k + 13	173	25	25	p	6
k	20	4	4	q	5
15 - p + k - q	24	30	30			M	24
4 + k - q	19	7	7			N	5
19 a + M	233	30	30			d	23
2 b + 4 c + 6 d + N	163	7	7			e	2
								H = 22 + d + e	47
								Q = d + e - 9	16

Les conditions 3. et 4. ne s'appliquent pas.

H est le quantième des Pâques en jours de mars (47 -31) = 16.

Q est le quantième des Pâques en jours d'avril.

Pâques est le 16 avril 2006.

Simplifications pour le calcul des Pâques juliennes :

• poser M = 15 et N = 6 ;
• dès lors, le calcul de k, p et q est inutile ;
• les conditions 4. et 5. ci-dessus sont sans objet.

Calcul de la date des Pâques juliennes en calendrier julien (Algorithme de Gauss)
L'algorithme de Gauss présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indications de "Gauss algorithm" sur Wikipedia en anglais

Pour Année ≥ 326 :

Date des Pâques juliennes (algorithme de Gauss)

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste	Expression
Année	19		a
Année	4		b
Année	7		c
				M = 15
				N = 6
19 a + M	30		d
2 b + 4 c + 6 d + N	7		e

Les Pâques grégoriennes en calendrier grégorien sont le :

1. H = (22 + d + e) mars
2. ou le Q = (d + e − 9) avril ;

Remarquer que H et Q fournissent la même date, la première en jours de mars et la seconde en jours d'avril. Par exemple pour 1492, on obtient H = 53 mars et Q = 22 avril, ce qui correspond à la même date si l'on considère que la première est en jours de mars (53 - 31 = 22 avril).

Exemple pour l'année 1492

Pâques juliennes en 1492 (algorithme de Gauss)

Dividende	Valeur Dividende|	Diviseur	Valeur Diviseur	Quotient	Valeur Quotient	Reste	Valeur Reste	Expression	Valeur Expression
Année	1492	19	19			a	10
Année	1492	4	4			b	0
Année	1492	7	7			c	1
								M = 15
								N = 6
19 a + M	205	30	30			d	25
2 b + 4 c + 6 d + N	160	7	7			e	6
								H = 22 + d + e	53
								Q = d + e - 9	22

H est le quantième des Pâques en jours de mars (53 -31) = 22.

Q est le quantième des Pâques en jours d'avril = 22.

Pâques est le 22 avril 1492.

 

L'algorithme de Conway

L'intérêt principal de l'algorithme de Conway est d'introduire une présentation nouvelle du calcul de la date des Pâques grégoriennes à l'aide du concept de "Jour-pivot".

Il existe chaque année une série de dates mensuelles qui tombent toujours le même jour de la semaine. Cette série de date est constante pour les dix derniers mois de l'année et varie pour janvier et février selon que l'année est ou non bissextile. Pour les années normales, cette série de dates est : (31/01, 28/02, 7/03, 4/04, 9/05, 6/06, 11/07, 8/08, 5/09, 10/10, 7/11, 12/12) et pour les années bissextiles, le 31/01 devient le 1/02 et le 28/02 devient le 29/02. On pourra vérifier sur le calendrier de 2006, année non bissextile, reproduit en tête de cet article, que le jour-pivot pour 2006 est un mardi. De plus les jours-pivot séculaires suivent un cycle de 400 ans. Conway utilise ces propriétés pour déterminer la Lune pascale et le dimanche des Pâques.

La méthode n'est toutefois pas aussi originale qu'il y paraît : en réalité, les jours-pivots se déduisent facilement de la lettre dominicale par la relation :

JP = (3 - L) mod 7

avec JP : jour-pivot ; L : Lettre dominicale, et

A = 1 ; B = 2 ; ... ; G = 0.

Lorsqu'on approfondit le fonctionnement de l'algorithme, on observe (comme pour les algorithme de Meeus et de Gauss) qu'il s'agit d'une présentation astucieuse des algorithmes canoniques.

Les contrôles effectués par ordinateur prouvent que la méthode, dans la présentation qui en est donnée ci-dessous, est exact et donne les mêmes résultats que l'algorithme de Butcher pour un cycle de 5 700 000 ans à partir de 1583.

Bibliographie

• John Horton Conway, Calendar Calculations (règle du Jour-pivot) ; Mathematical Surprises, Jan/Fév 1991, p. 46 ;
• John Horton Conway, Elwyn R. Berlekamp & Richard K. Guy ; Winning Ways for your Mathematical Plays, Volume II, Games in Particular, pp. 795-800 ; Academic Press, London, 1982 ; (ISBN 01120911027) ;
• The Doomsday Rule, S.W. Graham, Université de Central Michigan, octobre 1998 ;
• What is the day of the week, given any date? by William H. Jefferys, Université du Texas.

Calcul de la date des Pâques grégoriennes dans le calendrier grégorien.

Calcul détaillé de l'algorithme de Conway

Calcul de la date des Pâques grégoriennes en calendrier grégorien. (Algorithme de John Conway)
L'algorithme de Conway présenté ici a été rédigé, reformaté et vérifié selon les indication de ce site.

Pour Année ≥ 1583 :

Date des Pâques grégoriennes (Algorithme de Conway)

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste	Expression	Explication
Année	100	s	t		s : année séculaire, t : millésime
t	4	a			Terme bissextil
s	4		p
9 - 2*p	7		jps		jour-pivot séculaire (Note.)
jps + t + a	7		jp		jour-pivot de l'année courante
Année	19		g
				G = g + 1	Cycle de Méton
s	4	b			Métemptose
8 (s + 11)	25	r			Proemptose
				C = -s + b + r	Correction séculaire
11 G + C	30		d
d + 30	30		d		Pleine Lune pascale (Note.)
551 - 19 d + G	544	h			Correction des exceptions à l'épacte (Note.)
50 - d - h	7		e		Écart de la Pleine Lune pascale au Jour-pivot
e + jp	7		f		Jour de la Pleine Lune pascale
				R = 57 - d - f - h	Dimanche de Pâques

R est la date des Pâques en jours de mars

Si R ≤ 31 alors

Mois = mars

Quantième = R

sinon

Mois = avril

Quantième = R - 31

Exemple pour l'année 2006

Date des Pâques grégoriennes pour 2006 ( Algorithme de Conway)

Dividende	Valeur Dividende	Diviseur	Valeur Diviseur	Quotient	Valeur Quotient	Reste	Valeur Reste	Expression	Valeur Expression
Année	2006	100	100	s	20	t	6
t	6	4	4	a	1
s	20	4	4			p	0
9 - 2*p	9	7	7			jps	2
jps + a + t	9	7	7			jp	2
Année	2006	19	19			g	11
								G = g + 1	12
s	20	4	4	b	5
8 (s + 11)	248	25	25	r	9
								C = -s + b + r	-6
11 G + C	126	30	30			d	6
d + 30	36	30	30			d	6
551 - 19 d + G	449	544	544	h	0
50 - d - h	44	7	7			e	2
e + jp	4	7	7			f	4
								R = 57- d - f - h	47

Puisque R > 31 :

Mois = avril

Quantième = R - 31 = 16

Pâques est le 16 avril 2006

 

Autres méthodes algorithmiques du calcul de la date des Pâques

La recherche de méthodes simplifiées de calcul de la date des Pâques avait un grand intérêt à l'époque du calcul manuel : unifier les calculs, éviter le recours à des tables, gagner sur chaque opération arithmétique épargnait alors labeur, temps et risque d'erreur. Depuis l'apparition du calcul mécanique, la recherche de simplification est moins cruciale : écrire une ligne de programme en plus ou en moins n'est guère coûteux ; de plus, les temps de calcul, même pour des algorithmes peu optimisés, sont raisonnables.

Des mathématiciens se sont attaché à mettre sous forme d'algorithmes programmables les méthodes canoniques de Denys le Petit pour le calendrier julien ou de Lilius-Clavius pour le calendrier grégorien (trois algorithmes de Henk Reints) ; d'autres ont proposé des méthodes simplifiées mais susceptibles de certaines restrictions (comme les algorithmes de Carter ou de Thomas O'Beirne).

On cite ci-dessous, avec références, plusieurs de ces méthodes dans l'ordre chronologique de leur publication.

Algorithme de Zeller

Christian Zeller (1822-1899) est un astronome allemand qui travailla et publia également en France. Il œuvra beaucoup sur les problèmes calendaires et la date des Pâques. On trouvera des références bibliographiques dans sa notice ainsi, que ci-dessous, plus particulièrement sur la date des Pâques.

Sa méthode pour le calendrier julien est aussi simple que celle de Delambre. En revanche, sa méthode pour le calendrier grégorien n'est pas universellement valable en l'état : l'algorithme original est limité à l'année 4200.

Bibliographie

• Zeller, Chr., Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst, Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte, Jahrgang V (1882), pp. 313-314.
• Zeller Chr., Problema duplex Calendarii fundamentale, Bulletin de la Société Mathématique de France, vol.11, (Séance du 16 mars 1883), pp. 59-61.
• Zeller Chr. Rektor, Kalender-Formeln ; Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen des mathematisch-naturwissenschaftlichen Vereins in Württemberg, ser. 1, 1 (1885), pp. 54-58.
• Zeller Chr., Kalender-Formeln ; Acta Mathematica, vol.9 (1886-7), Nov. 1886, pp. 131-136.

L'algorithme de Zeller détaillé est disponible sur ce site.

Algorithme de Carter

La seule référence connue à l'algorithme de Carter concerne une note de travail du Royal Greenwich Observatory. Cet algorithme daterait des années 1920 - 1930.

La méthode de Carter détermine la date des Pâques grégoriennes dans le calendrier grégorien. Toutefois, cette méthode est limitée à la période 1900 - 2099.

L'algorithme de Carter détaillé est disponible sur ce site.

Algorithme de Oudin-Tøndering

Dans les années 1930, J.-M. Oudin, pseudonyme de Frère Namase-Marie, décèle précisément les insuffisances de l'algorithme de Gauss concernant la proemptose. Ses corrections paraissent successivement en 1939 et, en 1940, dans le Bulletin astronomique.

Claus Tøndering est un ingénieur informaticien danois né en 1953 qui a repris, amélioré et diffusé l'algorithme de Oudin.

Cet algorithme calcule la date des Pâques juliennes en calendrier julien et la date des Pâques grégoriennes en calendrier grégorien.

Algorithme de Denys le Petit

Le mathématicien néerlandais Henk Reints a mis sous forme algorithmique la méthode canonique de Denys le Petit pour les Pâques juliennes. Cet algorithme calcule la date des Pâques juliennes en calendrier julien. Voir ce site.

Algorithme de Lilius/Clavius

Le mathématicien néerlandais Henk Reints a aussi mis sous forme algorithmique la méthode canonique de Lilius-Clavius pour les Pâques grégoriennes. Cet algorithme calcule la date des Pâques grégoriennes en calendrier grégorien. Voir ce site.

Algorithme de Henk Reints

Cet algorithme grégorien est une simplification de l'algorithme de Lilius/Clavius présenté ci-dessus. Il a été développé par le mathématicien néerlandais Henk Reints. Cet algorithme calcule la date des Pâques grégoriennes en calendrier grégorien.

Voir le site de Henk Reints (en néerlandais), lien Easter date algorithms-Henk Reints.

Algorithme de Thomas O'Beirne

Cet algorithme détermine de la date des Pâques grégoriennes dans le calendrier grégorien, pour la période 1900-2099.

Thomas H. O'Beirne, de Glasgow, a publié son algorithme en 1965. Cet algorithme est explicitement limité par son auteur aux années 1900-2099. Une seconde publication, légèrement modifiée, en 1966, n'indique pas de limitation. Dans le doute, on doit considérer que cet algorithme est limité aux années 1900-2099.

Cet algorithme est disponible sur ce site.

Bibliographie

• O'Beirne, T. H., The regularity of Easter, Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, 1966, vol 2, numéro 2, pp. 46-49.
• O'Beirne, T. H. Puzzles and Paradoxes, Oxford University Press, New York, 1965, 238 p., dernière édition : 27/02/2002.

Références et notes

Bibliographie

• Denys le Petit Liber de Paschate. Texte en latin. ;
• Christophorus Clavius Opera mathematica (le cinquième volume contient une explication détaillée du calcul de la date des Pâques grégoriennes) ; fac-simile de l'original en latin et traduction en anglais ici.

Articles connexes

• Pâques
• Pâque juive
• Comput ecclésiastique
• Calendrier liturgique catholique

Liens externes

• Années classées par date de Pâques
• Comparaison de différents algorithmes (très documenté)
• Plusieurs algorithmes avec explications (et ponctuellement quelques fautes de frappe dans les formules, dommage)
• Sur le site de l’IMCCE :
  • Explications et calcul par année
  • Un calendrier perpétuel grégorien des dates de Pâques
• Nicée et la date de Pâques
• Tableau de Pâques de Dionysius Exiguus