Aire et centre de masse d'un polygone

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En géométrie, l'aire d'un polygone est la mesure de la superficie de la région délimitée par le polygone. En mécanique, le centre de masse d'un polygone, interprété comme centre de masse d'une plaque homogène polygonale, est le point autour duquel la masse est uniformément répartie. Pratiquement, dans le cas d'un champ de pesanteur uniforme, le centre de masse est confondu avec le centre de gravité.

L'aire et le centre de masse d'un polygone peuvent se calculer à l'aide du calcul intégral, mais pour un polygone simple (d'un seul tenant et sans intersection) il existe des formules plus simples.

Polygone simple[modifier | modifier le code]

Si un polygone simple (c'est-à-dire sans aucune intersection d'aucune paire quelconque de côtés, en dehors du sommet commun à deux côtés successifs) a pour sommets les points

A0, A1, … , An = A0

et si Ai a pour coordonnées (xi , yi ) alors[1] :

  • l'aire du polygone (considérée comme un nombre positif si les sommets sont ordonnés dans le sens trigonométrique et négatif dans le cas contraire) est donnée par :A = \frac12\sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)(cette formule n'est valable que pour un polygone simple : par exemple un polygone formé de la juxtaposition de deux carrés identiques joints par un sommet et parcouru en « huit » donnera une aire totale nulle, résultat de la somme de deux aires opposées, les deux carrés étant parcourus dans des sens contraires) ;
  • les coordonnées (x_G,y_G) du centre de masse s'expriment par :
    x_G=\frac1{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i),
    y_G=\frac1{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).

Polygones réguliers[modifier | modifier le code]

Pour un polygone régulier avec n côtés de longueur c, l'aire A est donnée par :

A=\frac{n c^2}{4\tan(\pi/n)}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Calculating the area and centroid of a polygon sur le site de Paul Bourke, University of Western Australia