Cœur d'un sous-groupe

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, l'intersection des conjugués, dans un groupe G, d'un sous-groupe H de G est appelée en anglais le core de H (dans G), ce qui peut se traduire en français par cœur[1]; elle est notée \mathrm{core}_{G}(H)[2] ou encore H_{G}[3].

Le cœur de H dans G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H.

Si on désigne par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H (cet ensemble n'est pas forcément muni d'une structure de groupe, H n'étant pas supposé normal dans G), on sait que G opère à gauche sur G/H par

G \times G/H \rightarrow G/H : (g, X) \mapsto gX.

Le cœur de H dans G est le noyau de cette opération. Il en résulte que G/H_{G} est isomorphe à un sous-groupe de S_{G/H} (groupe des permutations de l'ensemble G/H). En particulier, si H est d'indice fini n dans G, H_{G} est lui aussi d'indice fini dans G et cet indice divise n! (factorielle de n).

Comme exemple d'usage de la notion de cœur d'un sous-groupe, on peut citer un théorème de Øystein Ore selon lequel deux sous-groupes maximaux d'un groupe fini résoluble qui ont le même cœur sont forcément conjugués[4]. Ce théorème permet de prouver des théorèmes bien connus de Philip Hall et de Roger Carter (en)[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean Delcourt, Théorie des Groupes, 2e éd., 2007, p. 81, écrit dans une note de bas de page : « [Ce sous-groupe] se nomme en anglais le core de H, ce qui peut se traduire par cœur ».
  2. I. Martin Isaacs, Finite Group Theory, American Mathematical Society, 2008, p. 3.
  3. Voir par exemple Yakov Berkovich, « Alternate proofs of some basic theorems of finite group theory », Glasnik Matematički, vol. 40, no 60,‎ 2005, p. 207-233 (lire en ligne), p. 207.
  4. O. Ore, « Contributions to the theory of groups of finite order », dans Duke Mathematical Journal (en), vol. 5 (1938), 431-460. Référence fournie par Berkovich 2005, p. 233, qui donne une démonstration (pp. 210-211).
  5. Voir Berkovich 2005, qui donne des démonstrations (pp. 210-212).