Cœur d'un sous-groupe

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, l'intersection des conjugués, dans un groupe G, d'un sous-groupe H de G est appelée le cœur de H (dans G)[1] et est notée cœurG(H)[2] ou encore H_{G}[3].

Le cœur de H dans G est le plus grand sous-groupe normal de G contenu dans H.

Si on désigne par G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H (cet ensemble n'est pas forcément muni d'une structure de groupe, H n'étant pas supposé normal dans G), on sait que G opère à gauche sur G/H par

G \times G/H \rightarrow G/H : (g, X) \mapsto gX.

Le cœur de H dans G est le noyau de cette opération. Il en résulte que G/H_{G} est isomorphe à un sous-groupe de S_{G/H} (groupe des permutations de l'ensemble G/H). En particulier, si H est d'indice fini n dans G, H_{G} est lui aussi d'indice fini dans G et cet indice divise n! (factorielle de n).

Comme exemple d'usage de la notion de cœur d'un sous-groupe, on peut citer un théorème de Øystein Ore selon lequel deux sous-groupes maximaux d'un groupe fini résoluble qui ont le même cœur sont forcément conjugués[4]. Ce théorème permet de prouver des théorèmes bien connus de Philip Hall et de Roger Carter (en)[5].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean Delcourt, Théorie des Groupes, 2e éd., 2007, p. 81, écrit dans une note de bas de page : « [Ce sous-groupe] se nomme en anglais le core de H, ce qui peut se traduire par cœur ». Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne, donne cette définition plus générale : « Soit Σ < H un sous-groupe et S ⊂ H un sous-ensemble. Le cœur de Σ relativement à S est l'ensemble cœurS(Σ)= \bigcap_{h \in S} h^{-1} \Sigma h. » Dans la phrase suivante, il désigne par « cœur de Σ » le cœur de Σ dans H.
  2. Pierre Fima, Groupes, groupes quantiques et algèbres d'opérateurs, Mémoire d'habilitation, Université Paris Diderot - Paris 7, 2014, en ligne
  3. Voir par exemple Yakov Berkovich, « Alternate proofs of some basic theorems of finite group theory », Glasnik Matematički, vol. 40, no 60,‎ , p. 207-233 (lire en ligne), p. 207.
  4. O. Ore, « Contributions to the theory of groups of finite order », dans Duke Mathematical Journal (en), vol. 5 (1938), 431-460. Référence fournie par Berkovich 2005, p. 233, qui donne une démonstration (pp. 210-211).
  5. Voir Berkovich 2005, qui donne des démonstrations (pp. 210-212).