Cône (topologie)

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Cône d'un cercle. L'espace original est en bleu, et l'extrémité réduite à un point est en vert.

En topologie, et en particulier en topologie algébrique, le cône CX[1] d'un espace topologique X est l'espace quotient :

\mathrm{C}X = (X \times I)/(X \times \{0\})\,

du produit de X par l'intervalle unité I = [0, 1][2].

Intuitivement, on forme un cylindre de base X et on réduit une extrémité du cylindre à un point[3].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le cône construit sur un point p de la droite réelle est le segment {p} × [0,1].
  • Le cône construit sur deux points {0,1} est un "V" avec les extrémités en 0 et 1.
  • Le cône construit sur un intervalle I de la droite réelle est un triangle plein, aussi appelé 2-simplexe (voir l'exemple final).
  • Le cône construit sur un polygone P est une pyramide de base P.
  • Le cône construit sur un disque est le cône solide de la géométrie classique (d'où le nom de ce concept).
  • Le cône construit sur un cercle est la surface du cône précédent :
    \{(x,y,z) \in\R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \mbox{ and } 0\le z\le 1\}.
    Ce dernier est homéomorphe au disque fermé.
  • Plus généralement le cône construit sur une n-sphère est homéomorphe à la (n+1)-boule fermée.
  • Le cône construit sur un n-simplexe est un (n+1)-simplexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le cône d'un espace non vide est contractile (en particulier connexe par arcs et simplement connexe), puisqu'il se rétracte par déformation sur son sommet par l'homotopie ht(x,s) = (x, (1–t)s).

Le cône est utilisé en topologie algébrique précisément parce qu'il transforme un espace en un sous-espace d'un espace contractile : X = X × {1} ⊂ CX.

Lorsque X est compact, le cône CX peut être visualisé comme la réunion des segments joignant tout point de X à un point unique. Cependant, cette image ne fonctionne plus si X n'est pas quasi-compact ou pas séparé, car généralement la topologie quotient sur CX est plus fine que la topologie de la réunion des segments joignant X à un point.

Si X est un CW-complexe, alors CX aussi[2]. Si deux espaces ont même type d'homotopie, leurs cônes aussi.

Lien avec le cône d'une application[modifier | modifier le code]

Si f : XY est une fonction continue, on définit le cône Cf de l'application f comme le quotient de la réunion disjointe CXY par l'identification de chaque élément x de X ⊂ CX avec son image f(x) dans Y. L'inclusion de Y dans Cf est alors une cofibration.

Le cône de l'application identité de X est CX. Celui de l'écrasement de CX sur un point est la suspension SX de X.

Cône réduit[modifier | modifier le code]

Si (X, x0) est un espace pointé, son cône réduit est

\mathrm C_*(X,x_0)=X\times [0,1] /\left[(X\times \left\{0\right\})
\cup(\left\{x_0\right\}\times [0,1])\right],

muni de la topologie quotient[4] et pointé par l'image, dans ce quotient, du couple (x0, 0). L'inclusion naturelle de l'espace pointé dans son cône respecte ce pointage.

De même que le cône d'un espace non pointé est le cône de son application identité, le cône réduit d'un espace pointé est le cône réduit de son application identité.

Foncteur Cône[modifier | modifier le code]

L'application X ↦ CX induit un foncteur C : Top → Top sur la catégorie des espaces topologiques. L'application continue Cf[5] de CX vers CY associée à une application continue f : XY est définie par : Cf([(x, t)]) = [(f(x), t)][6]. On a de même un foncteur C sur la catégorie des espaces pointés.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en)/(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Cone (topology) » (voir la liste des auteurs) et en allemand « Kegel (Topologie) » (voir la liste des auteurs)

  1. Ne pas confondre avec l'espace C(X) des applications continues de X dans ℝ ou ℂ.
  2. a et b (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, CUP,‎ 2001 (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 9
  3. (de) Klaus Jänich (de), Topologie, Berlin, Springer,‎ 2008, 8e éd., 51f
  4. (de) Lothar Tschampel, Topologie 2: Bezüge zur Algebra, Berlin, Buch-X-Verlag,‎ 2011
  5. Ne pas confondre avec le cône Cf de l'application f, décrit précédemment, qui est un espace.
  6. (en) Roman Goebel, « Continuity of the cone functor », Topology and its applications, vol. 132,‎ 2003, p. 235-250 (lire en ligne [ps])

Article connexe[modifier | modifier le code]

Joint (mathématiques)