Branche parabolique

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Branches paraboliques
d'axe Ox - Courbe bleue : y=ln(x),
d'axe Oy - Courbe rouge : y=exp(x),
d'axe d: y=x - Courbe noire : y=1+ x-√x.

Dans l'étude des courbes planes, il existe parfois des points de la courbe qui s'éloignent infiniment de l'origine du repère. L'étude de ces courbes dans ces zones s'appelle l'étude des branches infinies. Quand la courbe semble regarder dans une direction mais tout en s'en éloignant, on dit que la courbe possède une branche parabolique dont l'axe est donné par la direction que regarde la courbe.

Ce nom provient du fait que la portion de courbe ressemble alors à une portion de parabole.

Courbe représentative d'une fonction[modifier | modifier le code]

On considère une fonction f définie au voisinage de plus ou moins l'infini.

On dit que la courbe représentative de f possède une branche parabolique d'axe (Oy) en plus l'infini (ou moins l'infini) si le quotient de f(x) par x tend vers l'infini en plus l'infini (ou moins l'infini).

 \lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{x} = \pm \infty ou \lim_{x \to - \infty}\frac{f(x)}{x} = \pm \infty

On dit que la courbe représentative de f possède une branche parabolique d'axe d: y = ax si le quotient de f(x) par x tend vers un réel a mais que f(x) - ax tend vers l'infini

 \lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{x} = a ou \lim_{x \to - \infty}\frac{f(x)}{x} = a

et

\lim_{x \to + \infty}f(x) - ax  = \pm \infty ou \lim_{x \to - \infty}f(x) - ax  = \pm \infty

Si la limite de f(x) - ax est plus l'infini, la courbe regarde l'axe par au-dessus, si la limite est moins l'infini, la courbe regarde l'axe par en dessous.

Courbe paramétrée[modifier | modifier le code]

On considère une courbe paramétrée d'équation

x = x(t)
y = y(t)

définie au voisinage de t_0

On recherche des branches paraboliques si

 \lim_{x \to t_0}x(t) = \pm \infty et \lim_{x \to t_0}y(t) = \pm \infty

La courbe possède une branche parabolique d'axe (Oy) si

\lim_{t \to t_0}\frac{y(t)}{x(t)} = \pm \infty

La courbe possède une branche parabolique d'axe d:y = ax si

\lim_{t \to t_0}\frac{y(t)}{x(t)} = a

et

\lim_{t \to t_0}y(t) - ax(t) = \pm \infty

Équation polaire[modifier | modifier le code]

Courbe d'équation polaire \rho(\theta)=\frac{16}{(4\theta - \pi)^2} et sa branche parabolique d'axe d:y = x.

On considère une courbe définie par

\rho = \rho(\theta)

c'est-à-dire l'ensemble des points M(x ; y) tels que

 x=\rho(\theta)cos(\theta)
y=\rho(\theta)\sin(\theta)

définie au voisinage de  \theta_0.

On recherche des branches paraboliques si

\lim_{\theta \to \theta_0}\rho(\theta) = \pm \infty

La courbe possède une branche parabolique de direction faisant un angle \theta_0 avec l'axe des x si

\lim_{\theta \to \theta_0}\rho(\theta)\sin(\theta - \theta_0)=\pm \infty

Voir aussi[modifier | modifier le code]