Base d'Auerbach

Une base d'Auerbach dans un espace vectoriel normé est une partie libre vérifiant des propriétés spéciales.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit $X$ un espace vectoriel normé. Pour tout vecteur $a$ et toute partie $B$ de $X$ , la distance de $a$ à $B$ (ou, ce qui revient au même, à l'adhérence de $B$ ) est :

d(a,B)=\inf _{b\in B}\|a-b\|.

La notation $[B]$ désignera l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par $B$ .

Une partie $A$ de $X$ est appelée base d'Auerbach de $X$ si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

$[A]=X$ , c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel engendré par $A$ est dense dans $X$ ;

pour tout vecteur $a$ de $A$ , on a $\|a\|=d(a,[A\setminus \{a\}])$ ,c'est-à-dire que la norme de $a$ est égale à sa distance au sous-espace engendré par les autres vecteurs de $A$ ;

le vecteur nul n'appartient pas à $A$ .

Une base d'Auerbach $A$ est dite base d'Auerbach normée lorsque tous les vecteurs de $A$ ont pour norme 1.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Toute base d'Auerbach $A$ $A$ est :
- topologiquement libre c'est-à-dire^[1] que pour tout $a$ de $A$ , le vecteur $a$ n'appartient pas à $\scriptstyle [A\setminus \{a\}]$ , et a fortiori algébriquement libre ;
- topologiquement génératrice, ou « totale »^[1] (c'est ce qu'exprime la condition $[A]=X$ ), mais pas nécessairement algébriquement génératrice.

(Si $X$ est de dimension finie, ces deux notions topologiques sont équivalentes à leurs homologues algébriques.)

Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, le lemme d'Auerbach affirme qu'il y a toujours une base d'Auerbach.

Motivation[modifier | modifier le code]

Dans un espace préhilbertien, pour tout vecteur $x$ et toute partie $B$ on a :

\|x\|=d(x,[B])\Leftrightarrow x\perp B

(le cas général se déduit du cas particulier où [B] est une droite). Dans un tel espace, la notion de base d'Auerbach normée est donc équivalente à celle de base de Hilbert.

La notion a été définie dans la thèse de Herman Auerbach. La thèse, écrite en 1929, a disparu. Mais la notion a été mentionnée dans une monographie de Stefan Banach de 1932^[2].

Définition équivalente[modifier | modifier le code]

Dans un espace de Banach $X$ , une partie $A$ est une base d'Auerbach normée (si et) seulement si :

$[A]=X$ ;
pour tout vecteur $a$ de $A$ , on a la condition de normalisation $\|a\|=1$ ;
pour tout vecteur $a$ de $A$ , il existe une forme linéaire continue $f$ sur $X$ (donc un élément du dual topologique de $X$ ) de norme 1, nulle sur $A\setminus \{a\}$ et telle que $f(a)=1$ .

En effet, d'après une version simplifiée du théorème de Hahn-Banach, pour tout sous-espace vectoriel fermé $F$ de l'espace de Banach $X$ et tout vecteur $a$ n'appartenant pas à $F$ , il existe sur $X$ une forme linéaire $f$ de norme 1, nulle sur $F$ , et telle que $f(a)=d(a,F)$ .

Notes et références[modifier | modifier le code]

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Auerbachbasis » (voir la liste des auteurs).
(en) Bartoszyński et al., « On bases in Banach spaces », in Studia Math., vol. 170, n^o 2, 2005, p. 147-171
(de) Dirk Werner, Funktionalanalysis, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, 2005, 5^e éd., 527 p. (ISBN 3-540-21381-3)

↑ ^{a et b} N. Bourbaki, Éléments de mathématique, EVT I.
↑ Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, édité par M. Garasiński, Varsovie, 1932.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Base de Schauder

Portail des mathématiques

[evt-1] {a et b} N. Bourbaki, Éléments de mathématique, EVT I.

[2] Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, édité par M. Garasiński, Varsovie, 1932.

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