Argument d'un nombre complexe

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Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge
Cet article est un complément de nombre complexe.



Un argument d’un nombre complexe non nul z est une mesure \theta\; (en radians) de l’angle :

(\overrightarrow{Ox},\;\overrightarrow{OM})\equiv\theta\mod 2\pi

M\; est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.

On a alors :

z=\rho\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}=\left|z\right|\cdot e^{i\cdot\arg z}\;,

\rho=\left|z\right|\; représente le module de z\;.

Souvent on note un argument du nombre complexe z\; de façon simplifiée par :

\arg z=\theta\;,

ou plus précisément :

\arg z \equiv\theta\mod 2\pi\;.



Rappels :

  • \forall\theta\not\equiv\frac\pi 2\mod \pi,\ \tan\theta=\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\; comme en coordonnées polaires et donc :
  • \tan\arg z=\frac{\Im(z)}{\Re(z)}=\frac{z-\bar z}{i\cdot(z+\bar z)}\;,\bar z\; est le conjugué de z\;,
  • si la partie réelle de z est strictement positive, \arg z\equiv\arctan\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\equiv\arctan\frac{z-\bar z}{i\cdot(z+\bar z)}\mod 2\pi\;,.

De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe peut être entièrement déterminé de la façon suivante :

  • \arg z=2\arctan \left(\frac{\Im(z)}{\Re(z) + \left|z\right|}\right) , si z n'est pas un réel négatif, \pi sinon.

Complex number.svg



Propriétés :

  • \arg(z_1\cdot z_2)\equiv\arg z_1+\arg z_2\mod 2\pi\;, si z_1\; et z_2\; sont des complexes non nuls.
  • \arg(z^n)\equiv n\cdot\arg z\mod 2\pi\;, si z\; est un complexe non nul et n\; un naturel.
  • \arg\frac 1z\equiv-\arg z\mod 2\pi\;, si z\; est un complexe non nul.

En particulier:

  • \arg(a\cdot z)\equiv\arg z\mod 2\pi\;, si a\; est un réel strictement positif et z\; un complexe non nul.
  • \arg(a\cdot z)\equiv\arg z+\pi\mod 2\pi\;, si a\; est un réel strictement négatif et z\; un complexe non nul.



Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase[1] ou de l''amplitude [2] d'un nombre complexe : \mathrm{ph}(z).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dictionary of Mathematics (2002). phase.
  2. (en) Konrad Knopp et Frederick Bagemihl, Theory of Functions Parts I and II, Dover Publications,‎ 1996 (ISBN 0-486-69219-1), p. 3

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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