Arc sinus

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Représentation graphique

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le sinus vaut ce nombre, entre −π/2 et π/2.

La fonction qui associe à tout nombre réel entre −1 et 1 la valeur de son arc sinus en radians est en général notée Arc sin en notation française (bien que la norme ISO 31-11 recommande la notation arcsin), et sin⁻¹, parfois asin ou asn, en notation anglo-saxonne. Il s'agit alors de la bijection réciproque de la fonction sinus sur l'intervalle [-π/2 ; π/2].

La courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [-π/2 ; π/2] par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Dérivée

Comme dérivée d'une bijection réciproque, Arcsin est dérivable sur ]-1:1[ et vérifie

$\mathrm{Arcsin}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation $\cos(\operatorname{arcsin(x)})=\sqrt{1-x^2}$.

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

$\mathrm{Arcsin}(x) = \int_0^x\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt$

Primitives

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties

$\int \mathrm{Arcsin}(x) \,dx = x\, \mathrm{Arcsin}(x) + \sqrt{1-x^2} + C$

Arccos(x) (bleu) et Arcsin(x) (rouge)

Relation entre Arc sinus et Arc cosinus

Voir section détaillée « Relation entre Arc cosinus et Arc sinus » de l'article « Arc cosinus »

$\mathrm{Arccos}(x)+\mathrm{Arcsin}(x)=\frac\pi2$

Forme logarithmique

On peut exprimer la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :

$\mathrm{Arcsin}(x) = -i\,\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right)$

Voir aussi

• Fonctions trigonométriques
• Arc cosinus
• Arc tangente