Arbre couvrant de poids minimal

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L'arbre couvrant de poids minimal d'un graphe planaire. Chaque arête est identifiée avec son poids qui, ici, est approximativement sa longueur.

En théorie des graphes, étant donné un graphe non orienté connexe dont les arêtes sont pondérées, un arbre couvrant de poids minimal de ce graphe est un arbre couvrant (sous-ensemble qui est un arbre et qui connecte tous les sommets ensemble) dont la somme des poids des arêtes est minimale. L'arbre couvrant de poids minimal est aussi connu sous certains autres noms, tel qu’arbre couvrant minimum ou encore arbre sous-tendant minimum.

Contexte et applications[modifier | modifier le code]

Les graphes sont un outil de représentation puissant et l'arbre couvrant minimum peut s'interpréter de différentes manières selon ce que représente le graphe. De manière générale si on considère un réseau où un ensemble d'objets doivent être reliés entre eux (par exemple un réseau électrique et des habitations), l'arbre couvrant minimum est la façon de construire un tel réseau en minimisant un coût représenté par le poids des arêtes (par exemple la longueur totale de câble utilisée pour construire un réseau électrique).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Un graphe peut comporter plusieurs arbres couvrants différents. On peut associer un poids à chaque arête, ce qui est un nombre qui représente le coût de cette arête, et prendre la somme des poids des arêtes de l'arbre couvrant. Un arbre couvrant de poids minimal est un arbre couvrant dont le poids est plus petit ou égal à celui de tous les autres arbres couvrants du graphe.

Un graphe non orienté et général possède une forêt couvrante de poids minimal.

Propriétés combinatoires[modifier | modifier le code]

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Un problème connu utilisant l'arbre du poids minimal est le suivant :

  • on génère n points aléatoirement dans un carré de côté 1 ;
  • on génère le graphe complet dont les sommets sont les points générés ;
  • on résout le problème de l'arbre de poids minimal ;
  • on calcule le poids total de l'arbre.

Ce poids est asymptotiquement égal à βn avec β = 0,658…

Algorithmes liés à l'arbre couvrant de poids minimal[modifier | modifier le code]

Algorithmes de recherche de l'arbre couvrant de poids minimal[modifier | modifier le code]

Il existe de nombreux algorithmes de recherche d'un arbre couvrant de poids minimal. On citera, entre autres, l'algorithme de Borůvka (le premier algorithme inventé pour ce problème), l'algorithme de Prim et l'algorithme de Kruskal.

Algorithme de vérification de la minimalité d'un arbre couvrant[modifier | modifier le code]

Il existe un algorithme linéaire qui, étant donné un arbre couvrant, vérifie si il est ou non de poids minimal [1],[2].

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles[modifier | modifier le code]

Manuel[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Implementation en BGL (Boost Graph Library)