Arbre (mathématiques)

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Pour tout ce qui concerne les arbres en théorie des graphes voir ici.

Un arbre est la donnée d'un ensemble E et d'une relation symétrique R sur E telle que deux points distincts quelconques x et y de E soient reliés par une seule géodésique finie : il existe un unique plus court chemin de x à y, un chemin de longueur n de x à y étant une suite de n+1 points z₀,...,z_n de E vérifiant x=z₀, z_iRz_i+1 pour i<n, z_n=y. L'arbre (E,R) est dit fini ou infini selon que E soit fini ou non. Par exemple si E est la réunion du bord d'un disque et de son centre c et si xRy est la relation x=c ou y=c, alors (E,R) est un arbre infini ; cependant la plupart des arbres infinis que l'on rencontre sont dénombrables. Pour les arbres finis, notre définition est équivalente à celle de la théorie des graphes dont nous utiliserons la terminologie. On distingue souvent dans un arbre un sommet particulier appelé racine ; par exemple N, muni de la relation xRy ssi x=Sy ou y=Sx où S est la fonction successeur, est un arbre infini admettant 0 comme racine naturelle, et cela s'étend à Z. Par contre, pour k>1, les treillis N^k et Z^k n'ont pas de structure d'arbre naturelle.

Exemples d'arbres infinis

Arbre de Stern-Brocot

Représentation (finie) de l'arbre de Stern-Brocot

Article détaillé : arbre de Stern-Brocot.

L'arbre de Stern-Brocot est une représentation de tous les rationnels strictement positifs, sous forme de fractions irréductibles.

Chaque nœud est de degré trois, exceptés les trois nœuds 0/1=0, 1/1=1 et 1/0=$\scriptstyle\infty$. Considérons que 1 est la racine de l'arbre. L'arbre est défini par l'itération : deux nœuds $\scriptstyle\frac{m}{n}$ et $\scriptstyle\frac{m'}{n'}$ ont pour père $\scriptstyle\frac{m+m'}{n+n'}$ ; où $\scriptstyle m,\, m',\, n$ et $\scriptstyle n'$ sont des entiers strictement positifs.

L'arbre de Calkin-Wilf est une autre alternative pour représenter sous forme d'arbre infini les rationnels strictement positifs, sous forme de fractions irréductibles : le nœud correspondant au rationnel $\scriptstyle\frac{a}{b}$ a pour fils gauche $\scriptstyle\frac{a}{a+b}$ et pour fils droit $\scriptstyle\frac{a+b}{b}$, la racine $\scriptstyle\frac{0}{1}=0$ a pour unique fils $\scriptstyle\frac{1}{1}=1$. Chaque rationnel est ainsi représenté une seule fois dans l'arbre.

Arbre homogène de degré n

Un arbre homogène de degré n est un arbre dont chaque nœud est de degré n, c'est-à-dire qu'il est relié à n autres sommets. Cet arbre est alors infini.

Arbre sur un alphabet

Soit A un alphabet non nécessairement fini et A* l'ensemble des mots (finis) écrits à partir de A (mot vide ε compris), qui est un monoïde pour la concaténation. Définissons des relations P (pour prédécesseur) et S (pour successeur) entre mots par xSy, ou yPx, ssi x est obtenu à partir de y en lui ajoutant une lettre à droite ; alors (A*,T), où T est la symétrisée de P ou S, est un arbre. Nous appellerons arbre sur A tout arbre (E,R) où E est une partie de A* stable par prise de prédécesseur (propriété voisine de celle d'un ensemble transitif) et où R est évidemment la restriction de T; un tel arbre a une racine naturelle, le mot vide. Cet exemple, lorsque A est égal à N ou NxN, sera développé ci-dessous en théorie des ensembles.

On en trouve cas particulier en probabilités appliquées à la dynamique des populations, plus précisément lors de l'étude des processus de Galton-Watson, sous le nom de notation de Neveu. Les arbres associés aux processus de Galton-Watson sont alors appelés arbres de Galton-Watson.

Frontière d'un arbre

Exemples

Ensemble de Cantor

Article détaillé : Ensemble de Cantor.

En mathématiques, l'ensemble de Cantor est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor. On le construit de manière itérative à partir du segment $[0,1]$ en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les six premières itérations du procédé sur le schéma suivant :

On dénote par $\mathcal{T}$ l'opérateur « enlever le tiers central » :

$\mathcal{T} : [a,b] \mapsto \left[a,a+\frac{b-a}{3}\right] \cup \left[b- \frac{b-a}{3},b\right].$

On peut alors représenter chaque intervalle par les nœuds d'un arbre binaire. L'intervalle $[0,1]$ est la racine et les deux intervalles $\scriptstyle \left[a,a+\frac{b-a}{3}\right]$ et $\scriptstyle \left[b- \frac{b-a}{3},b\right]$ sont les deux fils de l'intervalle $[a,b]$. L'arbre est infini et l'ensemble de Cantor est alors l'ensemble des feuilles de l'arbre. Ci-dessous une représentation des six générations de cet arbre. Les nœuds (ou ensembles) sont représentés par des lignes horizontales et les branches de l'arbre par des lignes verticales.

En théorie des ensembles

Arbre bien fondé

On dit que $(B,R)$ est un arbre bien fondé si la relation de prédécesseur n'admet pas de chaîne décroissante infinie c'est-à-dire il n'existe pas de suite infinie.

Plus intuitivement, on peut dire qu'un arbre est bien fondé si on ne peut "boucler" indéfiniment de par $R$, dans la relation de prédécesseur.

Exemple : Si $B = {0}$ et $R = \left\{ r_1 : n \rightarrow n + 1, r_2 : n \rightarrow n - 1 \right\}$, alors on est en présence d'un arbre qui n'est pas bien fondé. En effet, on peut facilement boucler indéfiniment en appliquant successivement $r_1$ et $r_2$.