Approximation sigma

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En mathématiques, l’approximation sigma, imaginée par Cornelius Lanczos, est une méthode de fenêtrage qui permet d'ajuster une série de Fourier pour éliminer le phénomène de Gibbs qui pourrait survenir aux discontinuités.

Principe[modifier | modifier le code]

Une approximation sigma appliquée à une série de période T peut s'écrire :

s(\theta) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{k=1}^{m-1} \mathrm{sinc}\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)\cdot  \left[a_{k} \cos \Bigl( \frac{2 \pi k}{T} \theta \Bigr) +b_k\sin\Bigl( \frac{2 \pi k}{T} \theta \Bigr) \right],

selon la fonction sinus cardinal normalisée

 \mathrm{sinc}\, x = \frac{\sin \pi x}{\pi x}.

où le terme

\mathrm{sinc}\Bigl(\frac{k}{m}\Bigr)

est le « facteur σ de Lanczos » qui est à l'origine de la suppression de la plus grande partie des oscillations supplémentaires dues au phénomène de Gibbs. Il ne résout cependant pas tout à fait le problème, mais dans les cas extrêmes on peut mettre l'expression au carré, ou même au cube.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sigma approximation » (voir la liste des auteurs)
  • (en) Cornelius Lanczos, Linear differential operators, Londres & New York, éd. van Nostrand,‎ 1961 (réimpr. 1997) (ISBN 0-486-68035-5), « Local smoothing by integration »
  • (en) Forman S. Acton, Numerical Methods that (usually) Work, The Mathematical Association of America,‎ 1970 (réimpr. 1997), 569 p. (ISBN 0883854503), « Fourier Series »