Approximation de l'unité

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En mathématiques, une suite de fonctions est une approximation de l'unité si elle se comporte asymptotiquement comme une unité pour le produit de convolution :

\forall g, \quad f_n*g \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} g.

Cependant il n'existe pas de fonction qui soit neutre pour le produit de convolution, donc une telle suite n'admet de limite que dans un espace de distributions, ce qui justifie le recours à une approximation.

La notion d'approximation de l'unité, ou unité approchée, est définie plus généralement dans une algèbre de Banach.

Définition[modifier | modifier le code]

Une unité approchée à gauche dans une algèbre de Banach A est une suite (ep) d'éléments de A (indexée par ℕ) ou une suite généralisée (indexée par un ensemble ordonné filtrant) telle que pour tout élément a de A, (epa) converge vers a. (On définit de même la notion d'unité approchée à droite.)

Dans L1(ℝn)[modifier | modifier le code]

Condition suffisante[modifier | modifier le code]

Une suite (fp) de fonctions dans L1(ℝn) est une approximation de l'unité dès que :

  • \exists M>0,~\forall p, {\|f_p\|}_1<M ;
  • \forall p, \displaystyle\int f_p=1  ;
  • \forall \epsilon >0, \displaystyle\lim_{p \to \infty} \int_{|x|> \epsilon} |f_p| =0 .

Il en découle pour toute fonction g bornée, \displaystyle \lim_{p\to+\infty} f_p * g = g.

Construction[modifier | modifier le code]

À partir d'une fonction \alpha intégrable sur ℝn et dont l'intégrale vaut 1, on définit une suite de fonctions \alpha_p(x)=p^n\alpha(px). On utilise le changement de variables x=\frac up et par le théorème de convergence dominée, on montre que cette suite de fonction est une approximation de l'unité[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Marc Briane et Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Vuibert,‎ février 2012 (ISBN 978-2-311-00738-1), p. 284-285

Voir aussi[modifier | modifier le code]