Application linéaire par morceaux

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec la notion de fonction affine par morceaux en analyse.
Une application linéaire par morceaux en 2D (en haut) et les polytopes convexes sur lesquels elle est linéaire (en bas).

En mathématiques, une application linéaire[1] par morceaux est une application définie sur un espace topologique composé de facettes affines, à valeurs dans un espace affine et dont les restrictions à chaque facette sont induites par des applications affines. Une telle application est en général supposée continue.

Un cas particulier d'application linéaire par morceaux est celui d'une fonction affine par morceaux, définie sur une réunion d'intervalles réels et à valeurs réelles, telle que la restriction à chacun de ces intervalles est donnée par une expression affine.

La notion est cependant développée surtout pour décrire des polyèdres et plus généralement les complexes simpliciaux et variétés PL. Elle sert en imagerie numérique pour représenter des objets en trois dimensions.

Définition[modifier | modifier le code]

Une application linéaire par morceaux est une application f: \Omega \to V\,, où V est un espace affine réel et \Omega est un espace topologique obtenu comme réunion d'une famille de parties homéomorphes à des parties d'un espace affine et de façon à ce que les structures affines coïncident sur les intersections de ces parties et que les restrictions de f soient affines sur chaque partie.

La réunion peut être supposée finie et chacune de ces parties de \Omega identifiée avec un polytope convexe.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. L'adjectif « linéaire » vient de la traduction de l'anglais piecewise linear mais correspond plus à la notion de fonction affine que de fonction linéaire.