Anticoïndicateur

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En mathématiques, un anticoïndicateur[réf. nécessaire] est un entier strictement positif n qui ne peut pas être exprimé comme la différence entre un entier m > 0 et le nombre des entiers compris entre 1 et m et premiers avec m. Exprimé algébriquement, m – φ(m) = n, où m est l'inconnue, et φ désigne la fonction indicatrice d'Euler, ne possède pas de solution.

Il a été conjecturé que tous les anticoïndicateurs sont pairs. Ceci découle d'une forme modifiée de la conjecture de Goldbach : si le nombre pair n peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers distincts p et q, alors

pq - \varphi(pq) = pq - (p-1)(q-1) = p+q-1 = n-1~.

On s'attend à ce que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, donc à ce qu'aucun nombre impair plus grand que 5 ne soit un anticoïndicateur. Les nombres pairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1 = 2 – φ(2), 3 = 9 – φ(9) et 5 = 25 – φ(25).

La suite des anticoïndicateurs (suite A005278 de l'OEIS) commence par : 10, 26, 34, 50, 52.

Paul Erdős et Wacław Sierpiński se sont demandé s'il existe une infinité d'anticoïndicateurs. Ceci fut finalement résolu par l'affirmative par Jerzy Browkin (en) et Andrzej Schinzel (1995), qui ont montré que tout entier de la forme 2k.509 203 est un anticoïndicateur. Depuis, Flammenkamp et Luca[1] ont trouvé d'autres suites infinies, analogues, d'anticoïndicateurs.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Noncototient » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) A. Flammenkamp et F. Luca, « Infinite families of noncototients », Colloq. Math., vol. 86, no 1,‎ 2000, p. 37-41 (zbMATH 0965.11003).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Anti-indicateur